20 正規直交基底

定義 1.90 (正規直交基底)   ベクトル空間の基底 $\{\vec{u}_{1},\vec{u}_{2},\cdots,\vec{u}_{n}\}$ に 対して次の名称を定義する：

• 正規基底（normal basis）：

  $$\Vert\vec{u}_i\Vert=1, \qquad i=1,2,\cdots,n$$

  
  

• 直交基底（orthogonal basis）：

  $$(\vec{u}_i,\vec{u}_j)=0, \qquad 1\leq i<j\leq n$$

  
  

• 正規直交基底（orthonormal basis）：

  $$(\vec{u}_{i},\vec{u}_{j})= \delta_{ij}, \qquad 1\leq i\leq j\leq n$$

  
  

例 1.91 (基本ベクトルの正規直交性)   $\mathbb{R}^n$ の 標準基底 $\{\vec{e}_{1},\vec{e}_{2},\cdots,\vec{e}_{n}\}$ は 正規直交基底である．

（証明）    

例 1.92 (基本ベクトルの正規直交性)   $\mathbb{R}^2$ の基底

$$\vec{u}_1= \begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}... ...ec{u}_2= \begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$$

は

$$\Vert\vec{u}_1\Vert=1\,,\quad \Vert\vec{u}_2\Vert=1\,,\quad (\vec{u}_1,\vec{u}_2)=0$$

をみたすので正規直交基底である．

例 1.93 (正規直交系の具体例)   $\mathbb{R}^{2}$ の基底

$$\vec{u}_1= \begin{bmatrix}\cos\theta \\ \sin\theta \end{bmatrix}, \qquad \vec{u}_2= \begin{bmatrix}-\sin\theta \\ \cos\theta \end{bmatrix}$$

は

$$\Vert\vec{u}_1\Vert=1\,,\quad \Vert\vec{u}_2\Vert=1\,,\quad (\vec{u}_1,\vec{u}_2)=0$$

をみたすので正規直交基底である．

定理 1.94 (正規直交基底における 1 次結合)   正規直交基底 $\{\vec{u}_{1},\vec{u}_{2},\cdots,\vec{u}_{n}\}$ に より定まるベクトル

$$\vec{v}=c_1\vec{u}_1+c_2\vec{u}_2+\cdots+c_n\vec{u}_n$$

の係数は

$$c_i=(\vec{v},\vec{u}_i), \qquad i=1,2,\cdots,n$$

により定まる．

（証明）     ベクトル $\vec{u}_i$ と

$$\vec{v}=c_1\vec{u}_1+c_2\vec{u}_2+\cdots+c_n\vec{u}_n$$

の両辺との内積をとると

$$(\vec{v},\vec{u}_i) = (c_1\vec{u}_1+c_2\vec{u}_2+ \cdots+ c_i\vec{u}_i+ \cdots+ c_n\vec{u}_n,\vec{u}_i)$$

$$= (c_1\vec{u}_1,\vec{u}_i)+ (c_2\vec{u}_2,\vec{u}_i)+ \cdots+ (c_i\vec{u}_i,\vec{u}_i)+ \cdots+ (c_n\vec{u}_n,\vec{u}_i)$$

$$= c_1(\vec{u}_1,\vec{u}_i)+ c_2(\vec{u}_2,\vec{u}_i)+ \cdots+ c_i(\vec{u}_i,\vec{u}_i)+ \cdots+ c_n(\vec{u}_n,\vec{u}_i)$$

$$= c_1\times 0+ c_2\times 0+ \cdots+ c_i\times 1+ \cdots+ c_n\times 0$$

$$=c_i$$

を得る．

Kondo Koichi
Created at 2004/12/13