22 解空間

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22 解空間

定義 1.99 (解空間) 同次系 $A\vec{x}=\vec{0}$ の解の集合

$\displaystyle W=\left\{ \vec{x}\,\vert\, A\vec{x}=\vec{0},\vec{x}\in\mathbb{R}^{n} \right\}$

を解空間（solution space）という．

定理 1.100 (解空間と部分空間) 解空間

は $\mathbb{R}^{n}$ の部分空間である．

（証明） $\vec{x},\vec{y}\in W$ とする．すなわち， $\vec{x}$ , $\vec{y}$ は方程式 $A\vec{x}=\vec{0}$ の解であり，

$\displaystyle A\vec{x}=\vec{0}, \qquad A\vec{y}=\vec{0}$

をみたすとする．このとき，

$\displaystyle A(\alpha\vec{x}+\beta\vec{y})= \alpha(A\vec{x})+\beta(A\vec{y})= \alpha\vec{0}+\beta\vec{0}=\vec{0}$

となるので $\alpha\vec{x}+\beta\vec{y}$ もまた解である．よって $\alpha\vec{x}+\beta\vec{y}\in W$ となり，

は部分空間である．

注意 1.101 (非同次系の解空間) 非同次系 $A\vec{x}=\vec{b}(\neq\vec{0})$ の解空間

は $\mathbb{R}^n$ の部分空間ではない．なぜなら， $A\vec{0}=\vec{0}\neq\vec{b}$ より非同次系は原点 $\vec{0}$ を解にもたない．よって

は $\vec{0}$ を含まず，部分空間とはならない．つまり，

$\displaystyle W\ni\vec{x},\vec{y},\quad \mathbb{R}\ni \alpha=0,\,\beta=0 \quad\Rightarrow\quad \alpha\vec{x}+\beta\vec{y}= 0\vec{x}+0\vec{y}=\vec{0}\not\in W$

である．

定理 1.102 (解空間の次元) 同次系の解空間

の次元は一般解の任意定数の個数と等しく，

$\displaystyle \dim(W)=n-\mathrm{rank}\,(A)$

で与えられる．

定義 1.103 (一般解) 解空間

の基底 $\vec{u}_1,\vec{u}_2,\cdots,\vec{u}_k$ を方程式 $A\vec{x}=\vec{0}$ の基本解という．このとき

の任意のベクトルは基本解の線形結合で

$\displaystyle \vec{x}= c_1\vec{u}_1+ c_2\vec{u}_2+ \cdots+ c_k\vec{u}_k$

と表される．これを方程式 $A\vec{x}=\vec{0}$ の一般解という．

例 1.104 (解空間の具体例) 解空間

$\displaystyle W=\left\{ \vec{x}\in\mathbb{R}^5 \left\vert\, \begin{array}{r} x_1-2x_2+x_3+2x_4+3x_5=0 \\ 2x_1-4x_2+3x_3+3x_4+8x_5=0 \end{array} \right. \right\}$

を考える．方程式を $A\vec{x}=\vec{0}$ とおく．

を簡約化して

$\displaystyle A\to B= \begin{bmatrix}1 & -2 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 2 \end{bmatrix}$

となる．これより，方程式は

$\displaystyle x_{1}=2x_{2}-3x_4-x_5, \qquad x_{3}=x_4-2x_5$

と書き換わる． $\mathrm{rank}\,A=2$ より任意定数の個数は $5-\mathrm{rank}\,A=3$ となり，任意定数を $x_2=c_1,x_3=c_2,x_5=c_3\in\mathbb{R}$ とおく．よって一般解は

$\displaystyle \vec{x}= \begin{bmatrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5}... ... \\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = c_{1}\vec{a}_1+ c_{2}\vec{a}_2+ c_{3}\vec{a}_3$

と得られる．ここで $\vec{x}=\vec{a}_1$ , $\vec{x}=\vec{a}_2$ , $\vec{x}=\vec{a}_3$ は基本解である．解空間は

$\displaystyle W= \left\{ c_{1}\vec{a}_1+ c_{2}\vec{a}_2+ c_{3}\vec{a}_3 \,\left... ...c_{1},c_{2},c_{3}\in\mathbb{R}\right. \right\}= <\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3>$