8 ノルム

定義 1.37 (ノルム)   ベクトル $\mathbb{R}^{n}\ni\vec{a}$ または $\mathbb{C}^{n}\ni\vec{a}$ に対して

$$\Vert\vec{a}\Vert=\sqrt{(\vec{a},\vec{a})}= \sqrt{\sum_{k=1}^{n}\vert a_{k}\vert^2}$$ (17)

をベクトルのノルム（norm）または 長さ（length）という．

例 1.38 (ノルムの具体例)  

$$\mathbb{R}^{2}\ni \vec{a}= \begin{bmatrix}1 \\ 1 \end{bmatrix}\,,\quad \vec{b}= \begin{bmatrix}2 \\ -1 \end{bmatrix}$$ (18)

のノルムはそれぞれ

$$\Vert\vec{a}\Vert = \sqrt{(\vec{a},\vec{a})}= \sqrt{1\times1+1\times1}=\sqrt{2}\,,$$ (19)

$$\Vert\vec{b}\Vert = \sqrt{(\vec{b},\vec{b})}= \sqrt{2\times2+(-1)\times(-1)}=\sqrt{5}$$ (20)

である．

$$\mathbb{R}^{3}\ni \vec{a}= \begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}\,,\quad \vec{b}= \begin{bmatrix}2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}$$ (21)

のノルムはそれぞれ

$$\Vert\vec{a}\Vert = \sqrt{\sum_{k=1}^{3}\vert a_{k}\vert^2}= \sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt{3}\,,$$ (22)

$$\Vert\vec{b}\Vert = \sqrt{\sum_{k=1}^{3}\vert b_{k}\vert^2}= \sqrt{2^2+(-1)^2+1^2}=\sqrt{6}$$ (23)

である．

定理 1.39 (ノルムの性質)   シュバルツの不等式（Schwartz' inequality）：

$$\vert(\vec{a},\vec{b})\vert\leq \Vert\vec{a}\Vert\Vert\vec{b}\Vert\,,\quad \vec{a},\vec{b}\in\mathbb{R}^{n}$$ (24)

三角不等式：

$$\Vert\vec{a}+\vec{b}\Vert\leq \Vert\vec{a}\Vert+\Vert\vec{b}\Vert\,,\quad \vec{a},\vec{b}\in\mathbb{R}^{n}$$ (25)

定義 1.40 (ノルム)   ノルムはシュバルツの不等式と三角不等式をみたすものであればよい． 次に定義される式もノルムとなる．

$$\Vert\vec{a}\Vert _{2}=\sqrt{\sum_{k=1}^{n}(a_{k})^2}$$

$$\Vert\vec{a}\Vert _{3}=\sqrt[3]{\sum_{k=1}^{n}(a_{k})^3}$$

$$\quad\vdots$$

$$\Vert\vec{a}\Vert _{p}=\sqrt[p]{\sum_{k=1}^{n}(a_{k})^p}$$

$$\Vert\vec{a}\Vert _{\infty}=\max(\vert a_1\vert,\vert a_2\vert,\cdots,\vert a_n\vert)$$

Kondo Koichi
Created at 2004/12/13