7 内積

定義 1.29 (内積)   $\mathbb{R}^{n}$ の 2 つのベクトル

$$\vec{a}= \begin{bmatrix}a_{1} \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n} \end{bm... ... \qquad \vec{b}= \begin{bmatrix}b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{n} \end{bmatrix}$$

に対して

$$(\vec{a},\vec{b})= {\vec{a}}^{T}\vec{b}= \sum_{k}^{n}a_{k}b_{k}= a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots+a_{n}b_{n}$$ (11)

なる二項演算を内積（inner product）という． また， $\mathbb{C}^n$ のベクトル $\vec{a},\vec{b}$ に対しては

$$(\vec{a},\vec{b})= {\vec{a}}^{T}\overline{\vec{b}}= \sum_{k}^{n}a... ...{k}= a_{1}\overline{b}_{1}+ a_{2}\overline{b}_{2}+\cdots+ a_{n}\overline{b}_{n}$$ (12)

と定義する．

例 1.30 (内積の具体例)   ベクトル

$$\vec{a}= \begin{bmatrix}1 \\ 1 \end{bmatrix}\,,\quad \vec{b}= \begin{bmatrix}2 \\ -1 \end{bmatrix} \in\mathbb{R}^{2}$$ (13)

の内積は

$$(\vec{a},\vec{b})= a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}= 1\times2+1\times(-1)=1$$ (14)

である．また

$$\vec{a}= \begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}\,,\quad \vec{b}= \begin{bmatrix}2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} \in\mathbb{R}^{3}$$ (15)

の内積は

$$(\vec{a},\vec{b})= a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}= 1\times2+1\times(-1)+1\times1=2$$ (16)

である．

定理 1.31 (内積の性質)   $\vec{a},\vec{b},\vec{c}\in\mathbb{R}^{n}$ と $\alpha\in\mathbb{R}$ に対して

(i)

（内積の交換則） $(\vec{a},\vec{b})=(\vec{b},\vec{a})$.

(ii)

（内積の分配則） $(\vec{a}+\vec{b},\vec{c})=(\vec{a},\vec{c})+(\vec{b},\vec{c})$.

(iii)

（内積のスカラー倍の結合則） $(\alpha\vec{a},\vec{b})=\alpha(\vec{a},\vec{b})$, $(\vec{a},\alpha\vec{b})=\alpha(\vec{a},\vec{b})$.

(iv)

$\vec{a}\neq\vec{0}$ のとき $(\vec{a},\vec{a})>0$

問 1.32 (内積の性質)   これを示せ．

定理 1.33 (内積の性質)   $\vec{a},\vec{b},\vec{c}\in\mathbb{C}^{n}$ と $\alpha\in\mathbb{C}$ に対して

(i)

（内積の交換則） $(\vec{a},\vec{b})=\overline{(\vec{b},\vec{a})}$.

(ii)

（内積の分配則） $(\vec{a}+\vec{b},\vec{c})=(\vec{a},\vec{c})+(\vec{b},\vec{c})$.

(iii)

（内積のスカラー倍の結合則） $(\alpha\vec{a},\vec{b})=\alpha(\vec{a},\vec{b})$, $(\vec{a},\alpha\vec{b})=\overline{\alpha}(\vec{a},\vec{b})$.

(iv)

$\vec{a}\neq\vec{0}$ のとき $\mathbb{R}\ni(\vec{a},\vec{a})>0$

問 1.34 (内積の性質)   これを示せ．

定義 1.35 (内積空間)   内積が定義されたベクトル空間を 内積空間（inner product space）という．

注意 1.36 (行列の積と内積)   $l\times m$ 型行列 $A$ を行ベクトルに分割し， $m\times n$ 型行列 $B$ を列ベクトルに分割し

$$A= \begin{bmatrix}{\vec{a}_1}^{T} \\ {\vec{a}_2}^{T} \\ \vdots \\... ...quad B= \begin{bmatrix}\vec{b}_1 & \vec{b}_2 & \cdots & \vec{b}_n \end{bmatrix}$$

とおく． ただし，$\vec{a}_i$, $\vec{b}_i$ は $m\times 1$ 型の列ベクトルである． このとき積は

$$AB = \begin{bmatrix}{\vec{a}_1}^{T} \\ {\vec{a}_2}^{T} \\ \vdots \\ ... ...matrix} \begin{bmatrix}\vec{b}_1 & \vec{b}_2 & \cdots & \vec{b}_n \end{bmatrix}$$

$$= \begin{bmatrix}{\vec{a}_1}^{T}\vec{b}_1 & {\vec{a}_1}^{T}\vec{b... ...ec{b}_1) & (\vec{a}_l,\vec{b}_2) & \cdots & (\vec{a}_l,\vec{b}_n) \end{bmatrix}$$

と表される．

Kondo Koichi
Created at 2004/12/13