8 行列の分割

$m\times n$ 型行列

$$A = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_... ...s & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}$$ (279)

の $n$ 個の列を $t$ 個の領域に分割し，$m$ 個の列を $s$ 個の領域に分割する． 縦横で分割された部分領域はそれぞれまた行列となっている． この部分行列をブロック行列（block matrix）と呼び， $A_{ij}$ と表す． $A_{ij}$ を用いて行列 $A$ を書き直すと

$$A = \begin{bmatrix}A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1t} \\ A_{21} & A_... ... \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{s1} & A_{s2} & \cdots & A_{st} \end{bmatrix}\,,$$ (280)

$$A_{ij}=[a_{kl}]_{m_{i}\times n_{j}}\,,$$ (281)

$$\sum_{p=1}^{i-1}m_{p}+1\leq k\leq\sum_{p=1}^{i}m_{p}\,,$$ (282)

$$\sum_{p=1}^{j-1}n_{p}+1\leq l\leq\sum_{p=1}^{j}n_{p}\,,$$ (283)

$$m_{1}+m_{2}+\cdots+m_{s}=m\,,\quad m_{i}\geq1\,,$$ (284)

$$n_{1}+n_{2}+\cdots+n_{t}=n\,,\quad n_{j}\geq1\,,$$ (285)

$$i=1,2,\cdots,s\,,$$ (286)

$$j=1,2,\cdots,t\,$$ (287)

と表される． このような表現を $A$ の分割（partition）という． $(m_{1},m_{2},\cdots,m_{s};n_{1},n_{2},\cdots,n_{t})$ を 分割の型（partition type）という．

例 2.64 (行列の分割の具体例)  

$$A = \left[ \begin{array}{c c \vert c} 2 & 3 & 0 \\ 1 & -2 & 0 \\ \h... ...{array}\right]= \begin{bmatrix}A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{bmatrix}$$ (288)

$$A_{11} = \begin{bmatrix}2 & 3 \\ 1 & -2 \end{bmatrix}\,,\qquad A_{12}= \... ...in{bmatrix}5 & 3 \end{bmatrix}\,,\qquad A_{22}= \begin{bmatrix}-9 \end{bmatrix}$$ (289)

Kondo Koichi
Created at 2004/11/26