7 行列の演算に関する注意

注意 2.52 (積の可換性)   $AB=BA$ は常に成立するとは限らない．

定義 2.53 (積の可換性)   $AB=BA$ が成立するとき， $A$ と $B$ は可換（commutative）であるという． 可換でない場合は非可換（non-commutative）であるという．

問 2.54 (積の可換性)   可換となりうる行列は正方行列のみである． これを示せ．

例 2.55 (非可換な場合の具体例)   行列 $A$, $B$ が

$$A = \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\,,\qquad B= \begin{bmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$$ (270)

で与えられたとする．このとき

$$AB = \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}0 & ... ...trix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}0 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$$ (271)

となる． よって $AB\neq BA$ となり， $A$ と $B$ とは非可換である．

例 2.56 (可換な場合の具体例)   行列 $A$, $B$ が

$$A = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}\,,\qquad B= \begin{bmatrix}3 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$$ (272)

で与えられたとする．このとき

$$AB = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}3 & ... ...atrix}1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}3 & 0 \\ 0 & 8 \end{bmatrix}$$ (273)

となる． よって $AB=BA$ となり， $A$ と $B$ とは可換である．

問 2.57 (対角行列の可換性)   対角行列どうしの積は可換である．これを示せ．

（証明） 対角行列は $A=[a_{ij}\delta_{ij}]$, $B=[b_{ij}\delta_{ij}]$ と表わされる． これを用いて示す．

注意 2.58 (行列の方程式)   $AB=O$ のとき $A=O$ または $B=O$ が成立するとは限らない． 数の場合は $ab=0$ のとき $a=0$ または $b=0$ である．

例 2.59 (行列の方程式の具体例)   行列 $A$, $B$ を

$$A = \begin{bmatrix}1 & -1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}\,,\qquad B= \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$$ (274)

とする．このとき

$$AB = \begin{bmatrix}1 & -1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}=O\,$$ (275)

となる．$AB=O$ ではあるが $A\neq O$, $B\neq O$ である．

定義 2.60 (行列の巾乗)   $A$ が正方行列のとき，$A$ を $m$ 回掛け合わせた行列を

$$A^m=\overbrace{AA\cdots A}^{m}$$ (276)

と表記し，これを $A$ の巾乗と呼ぶ．

定義 2.61 (巾零行列)   $A^m=O$ ( $2\leq m\in\mathbb{N}$) を満たす行列 $A$ を巾零行列と呼ぶ．

例 2.62 (巾零行列の具体例)  

$$(1)\qquad A = \begin{bmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\,,\quad A^2=AA= \be... ...}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}=O\,.$$ (277)

$$(2)\qquad A = \begin{bmatrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix... ...A^3=AA^2= \begin{bmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}=O\,.$$ (278)

問 2.63   教科書（p.10）問題 1.2.

Kondo Koichi
Created at 2004/11/26