9 分割された行列の積

定理 2.65 (分割された行列の積)   行列 $A=[a_{ij}]_{m\times n}$, $B=[b_{ij}]_{n\times r}$ を分割し，

$$A = \begin{bmatrix}A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1t} \\ A_{21} & A_... ... \vdots & \ddots & \vdots \\ B_{t1} & B_{t2} & \cdots & B_{tu} \end{bmatrix}\,,$$ (290)

$$A_{ij}=[a_{kl}]_{m_{i}\times n_{j}}\quad (i=1,2,\cdots,s;\,j=1,2,\cdots,t)\,,$$ (291)

$$B_{ij}=[b_{kl}]_{n_{i}\times r_{j}}\quad (i=1,2,\cdots,t;\,j=1,2,\cdots,u)\,,$$ (292)

$$m_{1}+m_{2}+\cdots+m_{s}=m\,,\quad m_{i}\geq1\,,$$ (293)

$$n_{1}+n_{2}+\cdots+n_{t}=n\,,\quad n_{j}\geq1\,,$$ (294)

$$r_{1}+r_{2}+\cdots+r_{u}=r\,,\quad r_{j}\geq1\,$$ (295)

と表したとき，行列の積 $AB$ は

$$AB = \begin{bmatrix}C_{11} & C_{12} & \cdots & C_{1u} \\ C_{21} & C_... ... \vdots & \ddots & \vdots \\ C_{s1} & C_{s2} & \cdots & C_{su} \end{bmatrix}\,,$$ (296)

$$C_{ij} =A_{i1}B_{1j}+A_{i2}B_{2j}+\cdots+A_{it}B_{tj}= \sum_{k=1}^{t}A_{ik}B_{kj}$$ (297)

と与えられる．

問 2.66   これを示せ．

例 2.67 (分割された行列の積の具体例)   行列

$$A = \left[ \begin{array}{cc\vert c\vert cc} 1 & 2 & 4 & 5 & 1 \\ \h... ... -1 & 2 \\ 0 & 3 \\ \hline 1 & -2 \\ \hline -1 & 1 \\ 2 & -3 \end{array}\right]$$ (298)

の積 $AB=C$ を考える． このとき行列を分割し

$$A = \begin{bmatrix}A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_... ... B_{31} \end{bmatrix}\,, \quad C= \begin{bmatrix}C_{11} \\ C_{21} \end{bmatrix}$$ (299)

とする．$C$ の部分行列は

$$C_{11} = A_{11}B_{11}+A_{12}B_{21}+A_{13}B_{31}$$ (300)

$$= \begin{bmatrix}1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}-1 & 2 \\ 0 &... ...begin{bmatrix}5 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}-1 & 1 \\ 2 & -3 \end{bmatrix}$$ (301)

$$= \begin{bmatrix}-1 & 8 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix}4 & -8 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix}-3 & 2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}0 & 2 \end{bmatrix}$$ (302)

$$C_{21} =A_{21}B_{11}+A_{22}B_{21}+A_{23}B_{31}$$ (303)

$$= \begin{bmatrix}0 & 2 \\ 3 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}-1 &... ...trix}1 & 3 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}-1 & 1 \\ 2 & -3 \end{bmatrix}$$ (304)

$$= \begin{bmatrix}0 & 6 \\ -3 & 6 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix}1 ... ...x}5 & -8 \\ 2 & -3 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}6 & -4 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$$ (305)

となるので，結局積として

$$C = \begin{bmatrix}C_{11} \\ C_{21} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}\... ...{bmatrix} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}0 & 2 \\ 6 & -4 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$$ (306)

を得る．

例 2.68 (分割された行列の積の計算例)  

$$\begin{bmatrix}A_{1} & O \\ O & A_{2} \end{bmatrix} \begin{bmatri... ...\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}A_{1}B_{1} & O \\ O & A_{2}B_{2} \end{bmatrix}\,.$$ (307)

（証明）

$$= \begin{bmatrix}A_{1}B_{1}+OO & A_{1}O+OB_{2} \\ OB_{2}+A_{2}O &... ...} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}A_{1}B_{1} & O \\ O & A_{2}B_{2} \end{bmatrix}= \,.$$ (308)

例 2.69 (分割された行列の積の計算例)   行列の積

$$\left[\begin{array}{cc\vert cc} 2 & 1 & 1 & 0 \\ 4 & 3 & 0 & 1 \\... ...\\ 3 & 2 & 0 & 1 \\ \hline 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{array}\right]$$ (309)

を考える． これは

$$\left[\begin{array}{c\vert c} A & E \\ \hline O & B \end{array}\right] \left[\begin{array}{c\vert c} C & E \\ \hline O & D \end{array}\right]$$ (310)

という形をしている． よって積は

$$\left[ \begin{array}{c\vert c} AC & A+D \\ \hline O & BD \end{arr... ...1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}2 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \end{array} \right]$$ (311)

$$= \begin{bmatrix}5 & 4 & 4 & 2 \\ 7 & 7 & 5 & 3 \\ 0 & 0 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$$ (312)

と求まる．

Kondo Koichi
Created at 2004/11/26