23 点の平面への射影

定義 1.108 (点の平面への射影)   $\mathbb{R}^{n}$ 空間内の点 $A$ と平面を考える． 点 $A$ から平面へ垂線を下ろしたときの足を $B$ とする． 点 $A$ から点 $B$ への変換を 射影（projection???）という．

注意 1.109 (点の平面への射影)   点 $A(\vec{x}_{0})$ から平面

$$\vec{n}\cdot(\vec{x}-\vec{q})=0$$ (182)

への射影点 $B(\vec{x}_{1})$ を考える． 点 $A$ から平面への垂線は平面と直交する． よって垂線の方向ベクトルと平面の法線ベクトル $\vec{n}$ は等しい． 垂線は点 $A(\vec{x}_{0})$ を通り 方向ベクトルが $\vec{n}$ であるので， 垂線の方程式は

$$\vec{x}(t)=\vec{x}_{0}+t\vec{n}$$ (183)

と表される． 垂線と平面の交点が射影点 $B(\vec{x}_{1})$ である． 交点 $\vec{x}_{1}$ を求める． 垂線の方程式を平面の方程式に代入すると

$$\vec{n}\cdot(\vec{x}_{0}+t\vec{n}-\vec{q})=0$$ (184)

であり，$t$ についてまとめると

$$t=t^{*}=- \frac{\vec{n}\cdot(\vec{x}_{0}-\vec{q})}{\vec{n}\cdot\vec{n}}$$ (185)

が成り立つ． これを垂線の方程式に代入し，交点

$$\vec{x}_{1}=\vec{x}(t^{*})= \vec{x}_{0}- \frac{\vec{n}\cdot(\vec{x}_{0}-\vec{q})}{\vec{n}\cdot\vec{n}}\vec{n}$$ (186)

を得る．

例 1.110 (点の平面への射影)   点 $A(1,-2,4)$ の平面 $2x+3y-z+1=0$ への射影点 $B$を考える． 平面の法線ベクトルは $\vec{n}={[2\,\,\,3\,\,\,-1]}^{T}$ であるから， 点 $A$ を通り平面に垂直な直線の方程式は

$$\frac{x-1}{2}= \frac{y+2}{3}= \frac{z-4}{-1}=t$$ (187)

となる． パラメータ表示すると

$$x=2t+1\,,\quad y=3t-2\,,\quad z=-t+4$$ (188)

である． これを平面の方程式に代入すると

$$2(2t+1)+3(3t-2)-(-t+4)+1=0$$ (189)

より $t=1/2$ を得る． これを垂線の方程式に代入すると

$$x=2\frac{1}{2}+1=2\,,\quad y=3\frac{1}{2}-2=-\frac{1}{2}\,,\quad z=-\frac{1}{2}+4=\frac{7}{2}$$ (190)

であり，射影点 $B(2,-1/2,7/2)$ を得る．

Kondo Koichi
Created at 2004/11/26