22 平面と直線の交点

注意 1.106 (平面と直線の交点) $\mathbb{R}^n$ 空間内の平面

$\displaystyle \vec{n}\cdot(\vec{x}-\vec{q})=0$

(171)

と直線

$\displaystyle \vec{x}=\vec{x}(t)= \vec{x}_{0}+t\vec{p}$

(172)

との交点を考える．これを平面の方程式に代入すると

$\displaystyle \vec{n}\cdot(\vec{x}_{0}+t\vec{p}-\vec{q})=0$

(173)

であるから，

についてまとめると

$\displaystyle t$

$\displaystyle =t^{*}=- \frac{\vec{n}\cdot(\vec{x}_{0}-\vec{q})}{\vec{n}\cdot\vec{p}}$

(174)

を得る．よって直線の方程式に代入すると

$\displaystyle \vec{x}(t^{*})=\vec{x}_{1}= \vec{x}_{0}- \frac{\vec{n}\cdot(\vec{x}_{0}-\vec{q})}{\vec{n}\cdot\vec{p}} \vec{p}$

(175)

となる．平面と直線の交点の位置ベクトルは $\vec{x}_{1}$ である．

例 1.107 (平面と直線の交点の具体例) 平面

$\displaystyle x-y+3z+1=0$

(176)

と直線

$\displaystyle \frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z-3}{4}$

(177)

との交点を考える．直線の方程式のパラメータ表示は

$\displaystyle x=3t+2\,,\quad y=-2t-1\,,\quad z=4t+3$

(178)

である．これを平面の方程式に代入すると

$\displaystyle (3t+3)-(-2t-1)+3(4t+3)+1=0$

(179)

より

$\displaystyle t=-\frac{14}{17}$

(180)

を得る．直線の方程式のパラメータ表示に代入すると

$\displaystyle x=-\frac{8}{17}\,,\quad y=\frac{11}{17}\,,\quad z=-\frac{5}{17}\,$

(181)

となり，交点は

である．