24 点と平面との距離

定義 1.111 (点と平面との距離)   $\mathbb{R}^{n}$ 空間内の点 $A$ と平面を考える． 点 $A$ と平面上の点 $B$ との距離が最小となるとき， その距離を点と平面との距離という．

定理 1.112 (点と平面との距離)   $\mathbb{R}^{n}$ 空間内の点 $A$ と平面を考える． 点 $A$ と平面上の点 $B$ との距離が最小となるのは 直線 $AB$ と平面が直交するときである．

例 1.113 (点と平面との距離)   点 $A(1,-2,4)$ の平面 $2x+3y-z+1=0$ への 射影点は $B(2,-1/2,7/2)$ である． 直線 $AB$ は平面に直交する． 距離 $\overline{AB}$ が点と平面との距離である． よって距離は

$$\sqrt{ \left(2-1\right)^2+ \left(-\frac{1}{2}+2\right)^2+ \left(\frac{7}{2}-4\right)^2}= \sqrt{\frac{7}{2}}$$ (191)

である．

定理 1.114 (点と平面との距離)   $\mathbb{R}^{n}$ 空間内の点 $A(\vec{x}_{0})$ と 平面 $\vec{n}\cdot(\vec{x}-\vec{q})=0$ を考える． 点 $A$ と平面との距離は

$$\frac{\left\vert\vec{n}\cdot(\vec{x}_{0}-\vec{q})\right\vert} {\Vert\vec{n}\Vert}$$ (192)

である．

問 1.115 (点と平面との距離)   これを示せ．

（証明） 点 $A(\vec{x}_{0})$ から平面 $\vec{n}\cdot(\vec{x}-\vec{q})=0$ への 射影点を $B(\vec{x}_{1})$ とする． 距離 $\overline{AB}=\Vert\vec{x}_{1}-\vec{x}_{0}\Vert$ が 点と平面の距離である． 射影点 $B(\vec{x}_{1})$ は

$$\vec{x}_{1}= \vec{x}_{0}- \frac{\vec{n}\cdot(\vec{x}_{0}-\vec{q})}{\vec{n}\cdot\vec{n}} \vec{n}$$ (193)

であるから，

$$(\vec{x}_{1}-\vec{x}_{0})\cdot(\vec{x}_{1}-\vec{x}_{0})= \left( \... ...}= \left( \frac{\vec{n}\cdot(\vec{x}_{0}-\vec{q})}{\Vert\vec{n}\Vert} \right)^2$$ (194)

より，

$$\Vert\vec{x}_{1}-\vec{x}_{0}\Vert= \frac{\vert\vec{n}\cdot(\vec{x}_{0}-\vec{q})\vert}{\Vert\vec{n}\Vert}$$ (195)

を得る．

定理 1.116 ( $\mathbb{R}^3$ の点と平面との距離)   $\mathbb{R}^{3}$ 空間内の点 $A(x_{0},y_{0},z_{0})$ と 平面 $ax+by+cz+d=0$ を考える． 点 $A$ と平面との距離は

$$\frac{\left\vert ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d\right\vert} {\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$ (196)

である．

問 1.117 ( $\mathbb{R}^3$ の点と平面との距離)   これを示せ．

（証明） 点 $A(\vec{x}_{0})$ と平面 $\vec{n}\cdot(\vec{x}-\vec{q})=0$ とし，

$$\vec{x}_{0}= \begin{bmatrix}x_{0} \\ y_{0} \\ z_{0} \end{bmatrix}... ...d \vec{x}_{0}-\vec{q}= \begin{bmatrix}x_{0} \\ y_{0} \\ z_{0}+c/d \end{bmatrix}$$ (197)

とおく．

$$\vec{n}\cdot(\vec{x}_{0}-\vec{q})= ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d\,,\quad \Vert\vec{n}\Vert= \sqrt{a^2+b^2+c^2}$$ (198)

より，

$$\frac{\vert\vec{n}\cdot(\vec{x}_{0}-\vec{q})\vert}{\Vert\vec{n}\Vert}= \frac{\vert ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d\vert}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$ (199)

を得る．

例 1.118 ( $\mathbb{R}^3$ の点と平面との距離)   点 $A(1,-2,4)$ の平面 $2x+3y-z+1=0$ との距離は

$$\frac{\vert 2\cdot1+3\cdot(-2)-4+1\vert}{\sqrt{2^2+3^2+(-1)^2}}= \sqrt{\frac{7}{2}}$$ (200)

である．

Kondo Koichi
Created at 2004/11/26