21 平面の方程式

定義 1.99 (平面)   $\mathbb{R}^n$ 空間内の点 $X$ の位置ベクトルが

$$\vec{x}(t,s)=\vec{q}+t\,\vec{u}+s\,\vec{v}\,,\quad \vec{x},\vec{q},\vec{u},\vec{v}\in\mathbb{R}^{n}\,,\quad \forall t, \forall s\in\mathbb{R}$$ (148)

と表されるとき， 点 $X$ の軌跡を平面（plane）という． $\vec{u}$, $\vec{v}$ を方向ベクトル（tangent vector）という．

例 1.100 (平面の具体例)  

$$\vec{e}_{1}= \begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix}\,,\quad \vec{e}_{2}= \begin{bmatrix}0 \\ 1 \end{bmatrix}\,$$ (149)

とおく．このとき平面

$$\vec{x}(t,s)=t\vec{e}_{1}+s\vec{e}_{2}= \begin{bmatrix}t \\ s \end{bmatrix}$$ (150)

を考える． 位置ベクトル $\vec{x}(t,s)$ は点 $(t,s)$ を表す． $t$, $s$ は任意の実数なので 点の軌跡は $\mathbb{R}^2$ 空間全体をなす． よって $\mathbb{R}^2$ は平面である．

例 1.101 ( $\mathbb{R}^3$ の平面の具体例)   点 $A(1,2,3)$, $B(2,0,-1)$, $C(-1,1,2)\in\mathbb{R}^3$ を 通る平面を考える． 点 $\vec{q}=\overrightarrow{OA}$ を通り 方向ベクトルが $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$, $\vec{v}=\overrightarrow{AC}$ の平面と考える．

$$\vec{q}=\overrightarrow{OA}= \begin{bmatrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{bmat... ...matrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}1 \\ -2 \\ -4 \end{bmatrix}\,,$$ (151)

$$\vec{v}=\overrightarrow{AC}= \overrightarrow{OC}- \overrightarrow... ...{bmatrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}-2 \\ -1 \\ -1 \end{bmatrix}$$ (152)

とする． 平面の方程式のパラメータ表示は

$$\vec{x}(t,s)= \vec{q}+t\vec{u}+s\vec{v}= \begin{bmatrix}1 \\ 2 \\... ... \\ -1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}t-2s+1 \\ -2t-s+2 \\ -4t-s+3 \end{bmatrix}$$ (153)

である．

定理 1.102 (平面の方程式)   $\mathbb{R}^n$ 空間内の平面上の点 $X$ の位置ベクトルは

$$\vec{n}\cdot(\vec{x}-\vec{q})=0\,,\qquad \vec{x},\vec{n},\vec{q}\in\mathbb{R}^{n}$$ (154)

と表される． $\vec{n}$ は方向ベクトル $\vec{u}$, $\vec{v}$ と 直交するベクトルである． $\vec{n}$ を法線ベクトル（normal vector）という．

（証明） $\vec{n}\cdot\vec{u}=0$, $\vec{n}\cdot\vec{v}=0$ である． このとき

$$\vec{n}\cdot(\vec{x}-\vec{q})= \vec{n}\cdot(t\vec{u}+s\vec{v})= t(\vec{n}\cdot\vec{u})+ s(\vec{n}\cdot\vec{v})=0$$ (155)

が成り立つ．

注意 1.103 ( $\mathbb{R}^3$ の平面の方程式)   $\mathbb{R}^3$ 空間内の平面の方程式を考える． まず，

$$\vec{x}= \begin{bmatrix}x \\ y \\ z \end{bmatrix}\,,\quad \vec{q}... ...{bmatrix}\,,\quad \vec{v}= \begin{bmatrix}v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{bmatrix}$$ (156)

とおく．すると方程式

$$x = x_{0} + t\,u_{1}+ s\,v_{1}\,, y = y_{0} + t\,u_{2}+ s\,v_{2}\,, z = z_{0} + t\,u_{3}+ s\,v_{3}$$ (157)

が成り立つ． $t$, $s$ は任意のパラメータであるから消去して方程式とする． 第一式と第二式の $s$ を消去し $t$ についてまとめると

$$\begin{vmatrix}u_{2} & v_{2} \\ u_{3} & v_{3} \end{vmatrix} (x-x_... ... (y-y_0)+ \begin{vmatrix}u_{1} & v_{1} \\ u_{2} & v_{2} \end{vmatrix} (z-z_0)=0$$ (158)

が得られる． 他の組合せでも同じ方程式を得る． この方程式は

$$\vec{n}= { \begin{bmatrix}a & b & c \end{bmatrix}}^{T}= { \begin{... ...n{vmatrix}u_{1} & v_{1} \\ u_{2} & v_{2} \end{vmatrix} \quad \end{bmatrix}}^{T}$$ (159)

とおくと $\vec{n}\cdot(\vec{x}-\vec{q})=0$ が成り立つ． また，

$$a(x-x_{0})+b(y-y_{0})+c(z-z_{0})=0$$ (160)

と表される． さらには $d=-ax_{0}-by_{0}-cz_{0}$ とおいて変形すれば

$$ax+by+cz+d=0$$ (161)

である． これらは $\mathbb{R}^2$ の平面の方程式の成分表示である． ベクトル $\vec{n}$ は

$$\vec{u}\cdot\vec{n} = u_{1} \begin{vmatrix}u_{2} & v_{2} \\ u_{3} & v_{3} \end{vmatri... ...} & v_{1} \\ u_{2} & u_{2} & v_{2} \\ u_{3} & u_{3} & v_{3} \end{vmatrix}= 0\,,$$ (162)

$$\vec{v}\cdot\vec{n} = v_{1} \begin{vmatrix}u_{2} & v_{2} \\ u_{3} & v_{3} \end{vmatri... ..._{1} & v_{1} \\ v_{2} & u_{2} & v_{2} \\ v_{3} & u_{3} & v_{3} \end{vmatrix}= 0$$ (163)

より，方向ベクトル $\vec{u}$, $\vec{v}$ とそれぞれ直交する． $\vec{n}$ は法線ベクトルである． また， ベクトル $\vec{n}$ は $\vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}$ により与えられることに注意する．

例 1.104 ( $\mathbb{R}^3$ の平面の方程式の具体例)   $\mathbb{R}^3$ 内の平面の方程式 $x-2y+3z+4=0$ を考える． 法線ベクトルは $\vec{n}={[1\,\,\,-2\,\,3]}^{T}$ である．

例 1.105 ( $\mathbb{R}^3$ の平面の方程式の具体例)   点 $A(1,2,3)$, $B(2,0,-1)$, $C(-1,1,2)\in\mathbb{R}^3$ を 通る平面を考える． 点 $\vec{q}=\overrightarrow{OA}$ を通り 方向ベクトルが $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$, $\vec{v}=\overrightarrow{AC}$ の平面と考える．

$$\vec{q}=\overrightarrow{OA}= \begin{bmatrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{bmat... ...,\quad \vec{v}=\overrightarrow{AC}= \begin{bmatrix}-2 \\ -1 \\ -1 \end{bmatrix}$$ (164)

とする． このとき法線ベクトルは

$$\vec{n} = \begin{bmatrix}a \\ b \\ c \end{bmatrix}= \vec{u}\times\vec{v}=... ...e}_{1} & \vec{e}_{2} & \vec{e}_{3} \\ 1 & -2 & -4 \\ -2 & -1 & -1 \end{vmatrix}$$ (165)

$$= \begin{vmatrix}-2 & -4 \\ -1 & -1 \end{vmatrix}\vec{e}_{1}- \be... ...ec{e}_{1}+9\vec{e}_{2}-5\vec{e}_{3}= \begin{bmatrix}-2 \\ 9 \\ -5 \end{bmatrix}$$ (166)

である． 平面の方程式の成分表示は

$$\vec{n}\cdot(\vec{x}-\vec{q})=0$$ (167)

より

$$a(x-x_{0})+b(y-y_{0})+c(z-z_{0})=0$$ (168)

であるから

$$-2(x-1)+9(y-2)-5(z-3)=0$$ (169)

を得る．また変形して

$$2x-9y+5z+1=0$$ (170)

を得る．

Kondo Koichi
Created at 2004/11/26