20 点と直線との距離

定義 1.87 (点と直線との距離)   $\mathbb{R}^{n}$ 空間内の点 $A$ と直線 $l$ を考える． 点 $A$ と $l$ 上の点 $B$ との距離が最小となるとき， その距離を点と直線との距離という．

定理 1.88 (点と直線との距離)   $\mathbb{R}^{n}$ 空間内の 点 $A$ と直線 $l$ を考える． 点 $A$ と $l$ 上の点 $B$ との距離が最小となるのは， 直線 $AB$ と直線 $l$ が直交するときである．

問 1.89 (点と直線との距離)   これを示せ．

（証明） 点 $A(\vec{a})$, $B(\vec{b})$ とする． 点 $B$ を直線 $l$ 上の点とする． すなわち $\vec{b}(t)=\vec{q}+t\vec{p}$ とおく． 点 $A$ と $B$ の距離を考える．

$$AB^2 = \Vert\vec{b}-\vec{a}\Vert^2= (\vec{b}-\vec{a})\cdot(\vec{b}-\vec{a})= (\vec{q}+t\vec{p}-\vec{a})\cdot(\vec{q}+t\vec{p}-\vec{a})$$ (118)

$$= (\vec{a}-\vec{q})\cdot(\vec{a}-\vec{q})- 2t\vec{p}\cdot(\vec{a}-\vec{q})+ t^2\vec{p}\cdot\vec{p}$$ (119)

$$= \Vert\vec{p}\Vert^2t^2-2t\vec{p}\cdot(\vec{a}-\vec{q})+ \Vert\vec{a}-\vec{q}\Vert^2$$ (120)

$$= \Vert\vec{p}\Vert^2 \left(t- \frac{\vec{p}\cdot(\vec{a}-\vec{q}... ...\Vert^2- \left(\frac{\vec{p}\cdot(\vec{a}-\vec{q})}{\Vert\vec{p}\Vert}\right)^2$$ (121)

より $t=t_{\mathrm{min}}= \vec{p}\cdot(\vec{a}-\vec{q})/\Vert\vec{p}\Vert^2$ のとき 最小値

$$\min_{t\in\mathbb{R}} \Vert\vec{b}-\vec{a}\Vert^2= \Vert\vec{a}-\... ...\Vert^2- \left(\frac{\vec{p}\cdot(\vec{a}-\vec{q})}{\Vert\vec{p}\Vert}\right)^2$$ (122)

をとる． このとき

$$\vec{p}\cdot(\vec{a}-\vec{b}(t_{\mathrm{min}})) = \vec{p}\cdot(\vec{a}-\vec{q}-t_{\mathrm{min}}\vec{p})= \vec{p}\cdot(\vec{a}-\vec{q})- t_{\mathrm{min}}\Vert\vec{p}\Vert^2$$ (123)

$$= \Vert\vec{p}\Vert^2\left( \frac{\vec{p}\cdot(\vec{a}-\vec{q})}{\Vert\vec{p}\Vert^2}- t_{\mathrm{min}} \right)=0$$ (124)

が成り立つ． $\vec{p}$ と $\vec{a}-\vec{b}(t_{\mathrm{min}})$ とは直交する． $\vec{p}$ は直線 $l$ の方向ベクトルであり， $\vec{a}-\vec{b}(t_{\mathrm{min}})$ は直線 $AB$ の方向ベクトルである． よって距離が最小になるとき直線 $l$ と直線 $AB$ は直交する．

定理 1.90 (点と直線の距離)   $\mathbb{R}^{n}$ 空間内の 点 $A$ と直線 $\vec{x}(t)=\vec{q}+t\vec{p}$ との距離は

$$\sqrt{ \Vert\vec{a}-\vec{q}\Vert^2- \left(\frac{\vec{p}\cdot(\vec{a}-\vec{q})}{\Vert\vec{p}\Vert}\right)^2}$$ (125)

である．

定理 1.91 (点と直線の距離)   $\mathbb{R}^{3}$ 空間内の 点 $A$ と直線 $\vec{x}(t)=\vec{q}+t\vec{p}$ との距離は

$$\sqrt{ \Vert\vec{a}-\vec{q}\Vert^2- \left(\frac{\vec{p}\cdot(\vec... ...\right)^2}= \frac{\Vert\vec{p}\times(\vec{a}-\vec{q})\Vert} {\Vert\vec{p}\Vert}$$ (126)

である．

問 1.92 ( $\mathbb{R}^3$ 内の点と直線の距離)   これを示せ．

（証明） 距離 $\overline{AB}$ は

$$\overline{AB}^2 = \Vert\vec{a}-\vec{q}\Vert^2- \left(\frac{\vec{p}\cdot(\vec{a}-\... ...\vec{a}-\vec{q})- \frac{(\vec{p}\cdot(\vec{a}-\vec{p}))^2}{\vec{p}\cdot\vec{p}}$$ (127)

$$= \frac{(\vec{p}\cdot\vec{p})(\vec{a}-\vec{q})\cdot(\vec{a}-\vec{... ...p}\cdot(\vec{a}-\vec{p}))((\vec{a}-\vec{p})\cdot\vec{p})} {\vec{p}\cdot\vec{p}}$$ (128)

となる． ここで

$$(\vec{a}\times\vec{b})\cdot(\vec{c}\times\vec{d})= (\vec{a}\cdot\vec{c})(\vec{b}\cdot\vec{d})- (\vec{a}\cdot\vec{d})(\vec{b}\cdot\vec{c})$$ (129)

を用いると

$$\overline{AB}^2 = \frac{(\vec{p}\times(\vec{a}-\vec{q}))\cdot (\vec{p}\times(\vec... ...ec{p}}= \frac{\Vert\vec{p}\times(\vec{a}-\vec{q})\Vert^2} {\Vert\vec{p}\Vert^2}$$ (130)

となり定理を得る．

例 1.93 ( $\mathbb{R}^3$ 内の点と直線の距離)   点 $A(0,2,1)$ と直線 $\vec{x}(t)={[1\,\,\,3\,\,-1]}^{T}+t{[2\,\,-1\,\,1]}^{T}$ との 距離を考える． 点 $A$ から直線への射影した点を $B(\vec{b})$ とする．

$$\vec{b}= \vec{q}+ \frac{\vec{p}\cdot(\vec{a}-\vec{q})}{\Vert\vec{p}\Vert^2} \vec{p}$$ (131)

であるから，

$$\vec{a} = \begin{bmatrix}0 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}\,,\quad \vec{q}= \begi... ...bmatrix}\,,\quad \vec{a}-\vec{q}= \begin{bmatrix}-1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}\,,$$ (132)

$$\Vert\vec{p}\Vert^2=6\,,\quad \vec{p}\cdot(\vec{a}-\vec{q})=1$$ (133)

より，

$$\vec{b}= \vec{q}+ \frac{\vec{p}\cdot(\vec{a}-\vec{q})}{\Vert\vec{... ...\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}= \frac{1}{6} \begin{bmatrix}8 \\ 17 \\ -5 \end{bmatrix}$$ (134)

である．点 $A(0,2,1)$ と点 $B(8/6,17/6,-5/6)$ との距離が 点 $A$ と直線の距離であるから，

$$\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{OB}- \overrightarrow{OA}= \f... ...\\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}= \frac{1}{6} \begin{bmatrix}8 \\ 5 \\ -11 \end{bmatrix}$$ (135)

より

$$\overline{AB}= \frac{\sqrt{8^2+5^2+(-11)^2}}{6}= \frac{\sqrt{64+25+121}}{6}= \frac{\sqrt{210}}{6}= \sqrt{\frac{35}{6}}$$ (136)

である．

例 1.94 ( $\mathbb{R}^3$ 内の点と直線の距離)   点 $A(0,2,1)$ と直線 $\vec{x}(t)={[1\,\,\,3\,\,-1]}^{T}+t{[2\,\,-1\,\,1]}^{T}$ との 距離を考える．

$$\Vert\vec{a}-\vec{q}\Vert^2=6$$ (137)

であるから，距離は

$$\sqrt{ \Vert\vec{a}-\vec{q}\Vert^2- \frac{(\vec{p}\cdot(\vec{a}-\vec{q}))^2}{\Vert\vec{p}\Vert^2}}= \sqrt{6-\frac{1}{6}}=\sqrt{\frac{35}{6}}$$ (138)

である．

例 1.95 ( $\mathbb{R}^3$ 内の点と直線の距離)   点 $A(0,2,1)$ と直線 $\vec{x}(t)={[1\,\,\,3\,\,-1]}^{T}+t{[2\,\,-1\,\,1]}^{T}$ との 距離を考える．

$$\vec{p}\times(\vec{a}-\vec{q})= \begin{bmatrix}-1 \\ -5 \\ -3 \end{bmatrix}\,,\quad \Vert\vec{p}\times(\vec{a}-\vec{q})\Vert^2=35$$ (139)

より，距離は

$$\frac{\Vert\vec{p}\times(\vec{a}-\vec{q})\Vert} {\Vert\vec{p}\Vert}= \sqrt{\frac{35}{6}}$$ (140)

である．

定理 1.96 ( $\mathbb{R}^2$ 内の点と直線の距離)   $\mathbb{R}^2$ 空間内の点 $A(x_{0},y_{0})$ と 直線 $ax+by+c=0$ との距離は

$$\frac{\vert ax_{0}+by_{0}+c\vert}{\sqrt{a^2+b^2}}$$ (141)

である．

問 1.97 ( $\mathbb{R}^2$ 内の点と直線の距離)   これを示せ．

（証明） $\mathbb{R}^2$ 空間を $\mathbb{R}^3$ 空間内の部分空間として考える． このとき，点 $A(\vec{a})$ と直線 $\vec{x}=\vec{q}+t\vec{p}$ を考える．

$$\vec{a}= \begin{bmatrix}x_{0} \\ y_{0} \\ 0 \end{bmatrix}\,,\quad... ...b \\ 0 \end{bmatrix}\,,\quad \vec{p}= \begin{bmatrix}b \\ -a \\ 0 \end{bmatrix}$$ (142)

とおくと

$$\vec{p}\times(\vec{a}-\vec{q})= \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ \begin{vmatrix}b & x_{0} \\ -a & y_{0}+c/b \end{vmatrix} \end{bmatrix}\,,\quad$$ (143)

$$\Vert\vec{p}\times(\vec{a}-\vec{q})\Vert^2= \begin{vmatrix}b & x_{0} \\ -a & y_{0}+c/b \end{vmatrix}^2= (ax_{0}+by_{0}+c)^2\,,\quad$$ (144)

$$\Vert\vec{p}\Vert^2=a^2+b^2$$ (145)

である．よって距離は

$$\frac{\Vert\vec{p}\times(\vec{a}-\vec{q})\Vert}{\Vert\vec{p}\Vert... ...x_{0}+by_{0}+c)^2}{a^2+b^2}}= \frac{\vert ax_{0}+by_{0}+c\vert}{\sqrt{a^2+b^2}}$$ (146)

である．

問 1.98 ( $\mathbb{R}^2$ 内の点と直線の距離)   点 $A(2,1)$ と直線 $x-3y-2=0$ との距離は

$$\frac{\vert ax_{0}+by_{0}+c\vert}{\sqrt{a^2+b^2}}= \frac{\left\vert 1\cdot2-3\cdot1-2\right\vert}{\sqrt{1^2+(-3)^2}}= \frac{3}{\sqrt{10}}$$ (147)

である．

Kondo Koichi
Created at 2004/11/26