18 外積をベクトルで計算

例 1.79 (外積の計算例) $\mathbb{R}^3$ の軸 $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ と同じ向きの単位ベクトル

$\displaystyle \vec{e}_{1}= \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\,,\quad \ve... ...0 \end{bmatrix}\,,\quad \vec{e}_{1}= \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\,$

(101)

を考える．このとき

	$\displaystyle \vec{e}_{1}\times\vec{e}_{1}=0\,,\quad \vec{e}_{2}\times\vec{e}_{2}=0\,,\quad \vec{e}_{3}\times\vec{e}_{3}=0\,,$	(102)
	$\displaystyle \vec{e}_{1}\times\vec{e}_{2}=\vec{e}_{3}\,,\quad \vec{e}_{2}\times\vec{e}_{3}=\vec{e}_{1}\,,\quad \vec{e}_{3}\times\vec{e}_{1}=\vec{e}_{2}\,,$	(103)
	$\displaystyle \vec{e}_{2}\times\vec{e}_{1}=-\vec{e}_{3}\,,\quad \vec{e}_{3}\times\vec{e}_{2}=-\vec{e}_{1}\,,\quad \vec{e}_{1}\times\vec{e}_{3}=-\vec{e}_{2}\,$	(104)

が成り立つ．

例 1.80 (外積の計算例)

$\displaystyle \vec{a}= \begin{bmatrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}= \vec{e}_{1}+2\... ...begin{bmatrix}4 \\ 5 \\ 6 \end{bmatrix}= 4\vec{e}_{1}+5\vec{e}_{2}+6\vec{e}_{3}$

(105)

を考える．このとき外積は

$\displaystyle \vec{a}\times\vec{b}$	$\displaystyle = (\vec{e}_{1}+2\vec{e}_{2}+3\vec{e}_{3})\times (4\vec{e}_{1}+5\vec{e}_{2}+6\vec{e}_{3})$	(106)
	$\displaystyle = 4\vec{e}_{1}\times\vec{e}_{1}+ 5\vec{e}_{1}\times\vec{e}_{2}+ 6\vec{e}_{1}\times\vec{e}_{3}$	(107)
	$\displaystyle \quad+ 8\vec{e}_{2}\times\vec{e}_{1}+ 10\vec{e}_{2}\times\vec{e}_{2}+ 12\vec{e}_{2}\times\vec{e}_{3}$	(108)
	$\displaystyle \quad+ 12\vec{e}_{3}\times\vec{e}_{1}+ 15\vec{e}_{3}\times\vec{e}_{2}+ 18\vec{e}_{3}\times\vec{e}_{3}$	(109)
	$\displaystyle = 4(\vec{0})+ 5\vec{e}_{3}+ 6(-\vec{e}_{2})$	(110)
	$\displaystyle \quad+ 8(-\vec{e}_{3})+ 10(\vec{0})+ 12\vec{e}_{1}$	(111)
	$\displaystyle \quad+ 12\vec{e}_{2}+ 15(-\vec{e}_{1})+ 18(\vec{0})$	(112)
	$\displaystyle = -3\vec{e}_{1}+6\vec{e}_{2}-3\vec{e}_{3}$	(113)
	$\displaystyle = \begin{bmatrix}-3 \\ 6 \\ -3 \end{bmatrix}$	(114)

となる．