15 交項級数

定義 1.69 (交項級数)   級数

$$S =\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}b_{n} \quad(b_{n}\geq0)$$ (151)

を交項級数（alternative term series）と呼ぶ．

定理 1.70 (交項級数の収束定理)   交項級数 $${\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}b_{n}}$$ は 次の条件を満たすとき収束する：

(i)

$b_{n}\geq b_{n+1}$.

(ii)

$${\lim_{n\to\infty}b_{n}=0}$$.

（証明）$n$ が偶数のときの有限部分和

$$S_{2n}=\sum_{k=1}^{n}\left(b_{2k-1}-b_{2k}\right)$$ (152)

はと書ける．条件より $b_{2k-1}-b_{2k}\geq0$ となるので， $S_{2n}\geq0$ となる． また $S_{2},S_{4},\cdots,S_{2n},\cdots$ は単調増加となる． さらには $S_{2n}$ は

$$S_{2n}=b_{1}-\sum_{k=1}^{n-1}\left(b_{2k}-b_{2k+1}\right)-b_{2n}$$ (153)

とも書ける． $b_{2k}-b_{2k+1}\geq0$, $b_{2k}\geq0$ であるから， $S_{2n}\leq b_{1}$ となる．よって $S_{n}$ は

$$0\leq S_{2n}\leq b_{1}$$ (154)

を満たす．$S_{2n}$ は有界な単調増加数列である． よって $S_{2n}$ は極限 $${S=\lim_{n\to\infty}S_{2n}}$$ が存在する． 次に $n$ が奇数にる場合を考える． $S_{2n+1}$ の極限は

$$\lim_{n\to\infty}S_{2n+1} = \lim_{n\to\infty}(S_{2n}+b_{2n+1})=S+0=S$$ (155)

と得られる．以上で証明終了．

例 1.71 (交項級数の収束定理の具体例)   級数 $${S=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{2^{n}}}$$ は 収束する． なぜなら $b_{n}=1/2^{n}>b_{n+1}=1/2^{n+1}$ であり， $${\lim_{n\to\infty}b_{n}=0}$$ であるから， 定理より級数は収束する．

例 1.72 (交項級数の収束定理の具体例)   級数 $${S=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}}$$ は 収束する． なぜなら $b_{n}=1/n>b_{n+1}=1/(n+1)$ であり， $${\lim_{n\to\infty}b_{n}=0}$$ であるから， 定理より級数は収束する．

Kondo Koichi
Created at 2003/08/29