14 正項級数の収束性判定法

定理 1.60 (比較判定法)   二つの正項級数

$$S =\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\,,\qquad T=\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}\,$$ (132)

を考える． 数列 $\{a_{n}\}$, $\{b_{n}\}$ がある正の整数 $N$ に対して

$$0\leq a_{n}\leq b_{n}\,\quad (n\geq N)$$ (133)

を満たすとき， 次の関係が成り立つ：

(i)

$T$ が収束するとき，$S$ も収束する．

(ii)

$S$ が発散するとき，$T$ も発散する．

例 1.61 (比較判定法の具体例)   級数 $${S=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{1+2^n}}$$ を考える． 数列 $${a_{n}=\frac{1}{1+2^n}}$$, $${b_{n}=\frac{1}{2^n}}$$ とする． このとき $0<a_{n}<b_{n}$ を満たす． また，級数 $T=\sum b_{n}=\sum 1/2^{n}$ は収束する． よって定理より級数 $S=\sum 1/(1+2^n)$ もまた収束する．

定理 1.62 (比較判定法)   二つの正項級数

$$S =\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\,,\qquad T=\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}\,$$ (134)

を考える． 数列 $\{a_{n}\}$, $\{b_{n}\}$ が

$$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}=L<\infty$$ (135)

を満たし，かつ級数 $T=\sum b_{n}$ が収束するとき， 級数 $S=\sum a_{n}$ も収束する．

例 1.63 (調和級数)   級数 $${\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}}$$ を 調和級数（harmonic series）という． 調和級数は発散する．

（証明）調和級数

$$T =\sum_{n}^{\infty}b_{n}=\sum_{n}^{\infty}\frac{1}{n}= 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+ \frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\cdots$$ (136)

の各項を括り直して

$$T =\sum_{n}^{\infty}\tilde{b}_{n}= 1+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\... ...ht)+ \left(\frac{1}{8}+\cdots+\right)+ \left(\frac{1}{16}+\cdots+\right)+\cdots$$ (137)

と考える．ここで $\tilde{b}_{n}$ は

$$\tilde{b}_{1} =1\,,$$ (138)

$$\tilde{b}_{2} =\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\,,$$ (139)

$$\tilde{b}_{3} =\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}\,,$$ (140)

$$\tilde{b}_{4} =\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+ \frac{1}{12}+\frac{1}{13}+\frac{1}{14}+\frac{1}{15}\,$$ (141)

であり，

$$\tilde{b}_{n} = \underbrace{\frac{1}{2^{n-1}}+\frac{1}{2^{n-1}+1}+\frac{1}{2^{n... ...} +\cdots+\frac{1}{2^{n}-1}}_{2^{n-1}}= \sum_{k=2^{n-1}}^{2^{n}-1}\frac{1}{k}\,$$ (142)

とおいている． $a_{n}<\tilde{b}_{n}$ を満たす $a_{n}$ をさがす． $\tilde{b}_{n}$ に関して不等式

$$\tilde{b}_{n} = \underbrace{\frac{1}{2^{n-1}}+\frac{1}{2^{n-1}+1}+\frac{1}{2^{n-1}+2} +\cdots+\frac{1}{2^{n}-1}}_{2^{n-1}}$$ (143)

$$> \underbrace{\frac{1}{2^{n}}+\frac{1}{2^{n}}+\frac{1}{2^{n}} +\cdots+\frac{1}{2^{n}}}_{2^{n-1}}=\frac{2^{n-1}}{2^{n}}=\frac{1}{2}$$ (144)

が成り立つので， $a_{n}=1/2$ とおけば $a_{n}<\tilde{b}_{n}$ を得る． よって比較判定法より

$$0<a_{n}<\tilde{b}_{n}\,,\quad S_{n}<T_{n} \Rightarrow\quad S=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2}=\infty\,,\quad T=\sum_{n=1}^{\infty}\tilde{b}_{n}=\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}=\infty$$ (145)

を得る．以上証明終り．

定理 1.64 (ダランベールの収束判定法)   正項級数 $${\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\ (a_{n}\geq0)}$$ は， 極限

$$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=L$$ (146)

により，級数の収束性の判定ができる：

(i)

$0\leq L<1$ のとき， $\sum a_{n}$ は収束する．

(ii)

$L>1$ のとき， $\sum a_{n}$ は発散する．

(iii)

$L=1$ のとき， $\sum a_{n}$ の収束性は判定できない．

例 1.65 (ダランベールの判定法の具体例)   級数

$$S = 1+\vert x\vert+ \frac{\vert x\vert^2}{2}+ \frac{\vert x\vert^3}... ...= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\vert x\vert^{n-1}}{(n-1)!} \qquad (x\in\mathbb{R})$$ (147)

を考える． $${a_{n}=\frac{\vert x\vert^{n-1}}{(n-1)!}>0}$$ であるから， $S$ は正項級数である． よって

$$\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}= \lim_{n\to\infty} \frac{... ...} \frac{(n-1)!}{\vert x\vert^{n-1}}= \lim_{n\to\infty} \frac{\vert x\vert}{n}=0$$ (148)

が成り立つので，ダランベールの判定法より級数は収束する．

例 1.66 (ダランベールの判定法で判定できない例)   調和級数 $${\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}}$$ を考える． 隣り合う項の比の極限は

$$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}= \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}\times\frac{n}{1}= \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)=1$$ (149)

となるのでダランベールの判定法定法では判定できない． 前述のように別の方法で行う．

問 1.67   参考書（p.180）問題7-3.

定理 1.68 (コーシーの収束判定法)   正項級数 $${\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\ (a_{n}\geq0)}$$ は， 極限

$$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_{n}}=L$$ (150)

により，級数の収束性の判定ができる：

(i)

$0\leq L<1$ のとき， $\sum a_{n}$ は収束する．

(ii)

$L>1$ のとき， $\sum a_{n}$ は発散する．

(iii)

$L=1$ のとき， $\sum a_{n}$ の収束性は判定できない．

Kondo Koichi
Created at 2003/08/29