2.23 点の平面への正射影

定義 2.53 (点の平面への正射影)   点 $A$ から平面へ垂線を下ろしたときの足 $B$ を正射影という． 点 $A$ から点 $B$ への変換を射影変換という．

例 2.54 (点の平面への正射影)   点 $A(1,-2,4)$ の平面 $2x+3y-z+1=0$ への正射影 $B$を考える． 平面の法線ベクトルは $\vec{n}=\begin{bmatrix}{2}\\ [-.5ex]{3}\\ [-.5ex]{-1}\end{bmatrix}$ であるから， 点 $A$ を通り平面に垂直な直線の方程式は

$$\frac{x-1}{2}= \frac{y+2}{3}= \frac{z-4}{-1}=t$$ (95)

となる． パラメータ表示すると

$$x=2t+1\,,\quad y=3t-2\,,\quad z=-t+4$$ (96)

である． これを平面の方程式に代入すると

$$2(2t+1)+3(3t-2)-(-t+4)+1=0$$ (97)

より $t=1/2$ を得る． これを垂線の方程式に代入すると

$$x=2\frac{1}{2}+1=2\,,\quad y=3\frac{1}{2}-2=-\frac{1}{2}\,,\quad z=-\frac{1}{2}+4=\frac{7}{2}$$ (98)

であり，正射影 $B(2,-1/2,7/2)$ を得る．

平成20年4月22日