3.16 演習問題 〜 体積，曲面積

問 3.75 (体積)   次の立体の体積を多重積分を用いて求めよ．
    (1)  半径 $a$ の球．     (2)  底面の半径 $a$，高さ $h$ の円柱．     (3)  底面の半径 $a$，高さ $h$ の円錐．
    (4)   半球 $\left\{\left.\,{(x,y,z)}\,\,\right\vert\,\,{x^2+y^2+z^2\leq a^2, z\geq 0}\,\right\}$ と 円柱 $\left\{\left.\,{(x,y,z)}\,\,\right\vert\,\,{x^2+y^2\leq ax}\,\right\}$ の共通部分．
    (5)   球 $\left\{\left.\,{(x,y,z)}\,\,\right\vert\,\,{x^2+y^2+z^2\leq 4a^2}\,\right\}$ から 円柱 $\left\{\left.\,{(x,y,z)}\,\,\right\vert\,\,{x^2+y^2\leq a^2}\,\right\}$ を除いた領域．
    (6)  円柱 $x^2+y^2\leq a^2$ の $0\leq z\leq x$ の領域．
    (7)   2 つの円柱 $\left\{\left.\,{(x,y,z)}\,\,\right\vert\,\,{x^2+z^2\leq a^2}\,\right\}$, $\left\{\left.\,{(x,y,z)}\,\,\right\vert\,\,{y^2+z^2\leq a^2}\,\right\}$ の共通部分．
    (8)   曲面 $${\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1}$$ $(a,b,c>0)$ に囲まれた領域．
    (9)  曲面 $z=x^2+y^2$ と平面 $x+y+z=1$ に囲まれた領域．
    (10)   円柱 $x^2+y^2=a^2$ $(a>0)$ と 2 平面 $x+z=a$, $z=0$ に囲まれた領域．
    (11)   曲面 $z=x^2+y^2$, 円柱 $x^2+y^2=4$ および 平面 $z=0$ に囲まれた領域．
    (12)  曲面 $z=x^2+y^2$ と平面 $z=2x$ に囲まれた領域．
    (13)  曲面 $(x^2+y^2+z^2)^2=z$ で囲まれた領域．
    (14)  曲面 $x^2+y^2+z^2=4$, $x^2+y^2=3z$ に囲まれた領域．

問 3.76 (曲面積)   次の曲面の曲面積を求めよ．ただし $a>0$ とする．
    (1)  半径 $a$ の球の表面．     (2)  球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$ の $x^2+y^2\le ax$, $z\ge 0$ の部分．
    (3)   $\left\{\left.\,{(x,y,z)}\,\,\right\vert\,\,{x+y+z=a, x\geq 0, y\geq 0, z\geq 0}\,\right\}$         (4)   $\left\{\left.\,{(x,y,z)}\,\,\right\vert\,\,{z=xy, x^2+y^2\leq a^2}\,\right\}$
    (5)   $${\left\{\left.\,{(x,y,z)}\,\,\right\vert\,\,{z=\mathrm{Tan}^{-1}\frac{y}{z}, x^2+y^2\leq a^2, x\geq 0, y\geq 0, z\geq 0}\,\right\}}$$
    (6)   $\left\{\left.\,{(x,y,z)}\,\,\right\vert\,\,{y^2+z^2=a^2, x^2+y^2\leq a^2}\,\right\}$         (7)   $\left\{\left.\,{(x,y,z)}\,\,\right\vert\,\,{y^2+z^2=a^2, x^2+y^2+z^2 \leq 2a^2}\,\right\}$
    (8)   $\left\{\left.\,{(x,y,z)}\,\,\right\vert\,\,{z=x^2+y^2, z\leq a}\,\right\}$         (9)  曲面 $z=x^2+y^2$ と平面 $z=1$ で囲まれる図形．
    (10)  球面 $x^2+y^2+z^2=4z$ のうち曲面 $z=x^2+y^2$ の内部にある部分．
    (11)  曲面 $2z=x^2+y^2$ のうち円柱 $x^2+y^2=1$ の内部にある部分．
    (12)  球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$ の $z\geq b$ の部分 $(0<b<a)$．

問 3.77 (体積)   下図の三角錐について，次の問に答えよ．
    (1)  $3$ 点 $A,B,C$ を通る平面 $H$ の方程式を(i)-(iii)の方法で求めよ．
    (i)   平面 $H$ を一般形 $ax+by+cz+d=0$ で表し $a$, $b$, $c$, $d$ に関して解いて求めよ．
    (ii)   平面 $H$ を $${\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1}$$ と おいて $a$, $b$, $c$ に関して解いて求めよ．
    (iii)   平面 $H$ の法線ベクトルを $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}$ により求めて $H$ の方程式を求めよ．
    (2)  底面の領域 $D$ を $x$ に関して単純な式で表せ．
    (3)  底面の領域 $D$ の面積 $${S(D)=\iint_D dx dy}$$ を計算せよ．
    (4)  平面 $H$ の方程式を $z=f(x,y)$ の形で表せ．
    (5)  三角錐の体積を $${V=\iint_D f(x,y)\,dx dy}$$ で計算せよ.
    (6)  三角形 $ABC$ の面積を $${S(\triangle ABC)=\iint_D \sqrt{1+(f_x)^2+(f_y)^2}dxdy}$$ により求めよ．

問 3.78 (多重積分の広義積分への応用)   次を示せ．

$$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,dx=\sqrt{\pi}$$

平成21年1月14日