3.5 積分の順番の入れ替え

例 3.31 (積分の順番の入れ替え)   領域 $D$ は $x$ と $y$ の両方に関して単純な領域であり，

$$D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{0\leq x\leq1,\,\, 0\l... ...\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{0\leq y\leq1,\,\, 0\leq x\leq y}\,\right\}$$

で与えられるとする．このとき，多重積分は

$$I=\iint_{D}f(x,y)\,dxdy= \int_{0}^{1}dx\int_{0}^{x}dy\,f(x,y)= \int_{0}^{1}dy\int_{y}^{1}dx\,f(x,y)$$

と書ける．

例 3.32 (積分の順番の入れ替え)   領域 $D$ が $x$ と $y$ の両方に関して単純な領域であり，

$$D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{0\leq x\leq1,\,\, x^2... ....\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{0\leq y\leq1,\,\, y\leq x\leq \sqrt{y}}\,\right\}$$

で与えられるとする．このとき，多重積分は

$$I=\iint_{D}f(x,y)\,dxdy= \int_{0}^{1}dx\int_{x^2}^{x}dy\,f(x,y)= \int_{0}^{1}dy\int_{y}^{\sqrt{y}}dx\,f(x,y)$$

と書ける．

例 3.33 (積分の順番の入れ替え)   領域

$$D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{0\leq y\leq 4,\,\, y-2\leq x\leq\sqrt{y}}\,\right\}$$

は $y$ に関して単純な領域である． $x$ に関して単純な領域に書き換えると

$$D=D_1+D_2,$$

$$D_1=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{-2\leq x\leq 0,\,\, 0\leq y\leq x+2}\,\right\},$$

$$D_2=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{0\leq x\leq 2,\,\, x^2\leq y\leq x+2}\,\right\}$$

となる． このとき

$$\int_{0}^{4}dy\int_{y-2}^{\sqrt{y}}f(x,y)\,dx= \int_{-2}^{0}dx\int_{0}^{x+2}f(x,y)\,dy+ \int_{0}^{2}dx\int_{x^2}^{x+2}f(x,y)\,dy$$

が成り立つ．

(a) $y$ に関して単純な領域	(b) $x$ に関して単純な領域

平成21年1月14日