2.25 偏微分作用素

例 2.105 (偏微分作用素)   関数 $f(x)$ の 1 階偏導関数は

$$f_{x}= \frac{\partial f}{\partial x}= \frac{\partial}{\partial x}f$$

と表される．微分するという操作

$$\frac{\partial}{\partial x}$$

を偏微分作用素（演算子） （partial differential operator）という．

例 2.106 (高階微分)   関数 $f(x)$ の 2 階偏導関数は

$$f_{xx}= \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}= \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial}{\partial x}f= \left(\frac{\partial}{\partial x}\right)^2f= \frac{\partial^2}{\partial x^2}f$$

と表される．関数 $f$ は任意であるから 偏微分作用素のみを抜き出すと

$$\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial}{\partial x}= \left(\frac{\partial}{\partial x}\right)^2= \frac{\partial^2}{\partial x^2}$$

と表される． 同様にして $n$ 階偏導関数は

$$\frac{\partial^n f}{\partial x^n}= \underbrace{\frac{\partial}{\partial x}\cdots \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial}{\partial x}}_{n} f= \left(\frac{\partial}{\partial x}\right)^nf= \frac{\partial^n}{\partial x^n}f$$

と表される．関数 $f$ は任意であるから

$$\underbrace{\frac{\partial}{\partial x}\cdots \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial}{\partial x}}_{n}= \left(\frac{\partial}{\partial x}\right)^n= \frac{\partial^n}{\partial x^n}$$

が成り立つ．

例 2.107 (線形結合の微分)   関数 $f(x,y)$ の $x$ と $y$ に関する 1 階偏導関数の線形結合は

$$\alpha f_x+\beta f_y= \alpha\frac{\partial f}{\partial x}+ \beta\... ...t( \alpha\frac{\partial}{\partial x}+ \beta\frac{\partial}{\partial y} \right)f$$

と表される． 関数 $f$ は任意であるから $\alpha f_{x}+\beta f_{y}$ の作用素は

$$\alpha\frac{\partial}{\partial x}+ \beta\frac{\partial}{\partial y}$$

である．

例 2.108 (2 項展開)   $${\alpha\frac{\partial}{\partial x}+ \beta\frac{\partial}{\partial y}}$$ を 2 回繰り返す作用素は

$$\left( \alpha\frac{\partial}{\partial x}+ \beta\frac{\partial}{\p... ...ft( \alpha\frac{\partial}{\partial x}+ \beta\frac{\partial}{\partial y} \right)$$

$$= \alpha^2\left(\frac{\partial}{\partial x}\right)^2+ 2\alpha\bet... ...\partial}{\partial y}\right)+ \beta^2\left(\frac{\partial}{\partial y}\right)^2$$

$$= \alpha^2\frac{\partial^2}{\partial x^2}+ 2\alpha\beta \frac{\partial^2}{\partial x\partial y}+ \beta^2\frac{\partial^2}{\partial y^2}$$

と表される． $${\alpha\frac{\partial}{\partial x}+ \beta\frac{\partial}{\partial y}}$$ を $n$ 回繰り返す作用素は

$$\left( \alpha\frac{\partial}{\partial x}+ \beta\frac{\partial}{\partial y} \right)^n = \sum_{k=0}^{n} \begin{pmatrix}n \\ k-n \end{pmatrix} \left(\alp... ...matrix} \alpha^{n-k}\beta^{k} \frac{\partial^n}{\partial x^{n-k}\partial y^{k}}$$

と表される．

例 2.109 (積の微分)   関数 $f(x)$, $g(x)$ に対して

$$\frac{\partial}{\partial x} \left(g\frac{\partial f}{\partial x}\... ...ft( g_{x}\frac{\partial}{\partial x}+ g\frac{\partial^2}{\partial x^2}\right) f$$

が成り立つ．$f$ は任意であるから，

$$\frac{\partial}{\partial x}g\frac{\partial}{\partial x} = \frac{\... ...rtial x^2} = g_{x}\frac{\partial}{\partial x}+ g\frac{\partial^2}{\partial x^2}$$

と書ける．

例 2.110 (関数係数の 2 項展開)   偏微分作用素

$$L= a(x,y)\frac{\partial}{\partial x}+ b(x,y)\frac{\partial}{\partial y}$$

を 2 回繰り返すと

$$L^2 = \left( a(x,y)\frac{\partial}{\partial x}+ b(x,y)\frac{\partial}{\partial y}\right)^2$$

$$= a^2\frac{\partial^2}{\partial x^2}+ b^2\frac{\partial^2}{\parti... ...+a_{y}b)\frac{\partial}{\partial x}+ (ab_{x}+bb_{y})\frac{\partial}{\partial y}$$

となる．

平成21年1月14日