2.24 演習問題 〜 合成関数の微分

問 2.99 (合成関数の微分)   次の合成関数の導関数 $${\frac{dz}{dt}}$$ を求めよ．
    (1)  $z=f(x,y)$， $x=\alpha\,t+\beta$， $y=\gamma\,t+\delta$     (2)  $z=f(x,y)$，$x=\cos t$，$y=\sin t$
    (3)   $${z=xg(y)+yf(x)}$$, $${x=t^3}$$, $${y=t^2}$$     (4)   $${z=xy}$$， $${x=3t^2+3}$$， $${y=t^3+1}$$
    (5)  $z=x^3y^2$，$x=t^2$，$y=t^4$     (6)   $z=2xy-3x^2y^3$，$x=t^2$，$y=t^3$
    (7)   $z=xy^2-x^2y$，$x=t^2$，$y=e^t$     (8)   $z=4x^3y^2+5x^2y$，$x=t^2$，$y=t^3$
    (9)   $z=y^2+2xy+3x^2$, $x=\log t$, $y=t$     (10)   $z=x\,\cos y-y\,\cos x$，$x=\cos 2t$，$y=\sin 2t$
    (11)   $${z=\mathrm{Tan}^{-1}xy}$$，$x=t^2$，$y=1/(t+1)$     (12)   $z=\mathrm{Tan}^{-1} xy$， $x=e^t+e^{-t}$，$y=e^{2t}$
    (13)   $z=e^{x^2y}$，$x=t$，$y=1/t$     (14)   $z=e^{x^2y}$，$x=\cos t$，$y=t^2$
    (15)   $z=t^2+2tx+3x^2$，$x=\log t$     (16)   $z=2yt+3t^2$, $y=e^{t^2}$

問 2.100 (合成関数の微分)   $z=f(x,y)$ に対して， 次の高階導関数を求めよ．
    (1)   $z=f(at,bt)$のとき， $${\frac{dz}{dt}}$$, $${\frac{dz^2}{dt^2}}$$, $${\frac{dz^3}{dt^3}}$$, $${\frac{dz^4}{dt^4}}$$を求めよ．
    (2)   $z=f(g(t),t)$のとき, $${\frac{dz}{dt}}$$, $${\frac{dz^2}{dt^2}}$$を求めよ．
    (3)   $z=f(x,g(x))$のとき, $${\frac{dz}{dx}}$$, $${\frac{dz^2}{dx^2}}$$を求めよ．

問 2.101 (合成関数の微分)   次の合成関数の偏導関数 $${\frac{\partial z}{\partial u}}$$, $${\frac{\partial z}{\partial v}}$$ を求めよ．
    (1)  $z=f(x,y)$，$x=2u-3v$，$y=u-5v$     (2)  $z=f(x,y)$， $x=u\,\cos v$， $y=u\,\sin v$
    (3)  $z=f(x,y)$， $x=\cos(u+v)$， $y=\sin(u-v)$     (4)  $z=f(x+3y)$，$x=u-2v$，$y=3u-4v$
    (5)  $z=xy$， $x=\alpha\,u+\beta\,v$， $y=\gamma\,u+\delta\,v$     (6)   $${z=(x+y)^2}$$， $${x=\sin\frac{v}{u}}$$， $${y=\cos\frac{u}{v}}$$
    (7)  $z=x^2-y^2$， $x=\cosh (2u+3v)$， $y=\sinh (3u-2v)$
    (8)   $z=xy^2+x^2y$，$x=u+v$，$y=u-v$     (9)   $${z=\mu x^2-\nu y^2}$$，$x=u^2+v^2$，$y=u^2-v^2$
    (10)   $${z=\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}}$$, $x=u\,\cos v$, $y=u\,\sin v$     (11)   $z=\sin(x-y)$，$x=u^2+v^2$，$y=2uv$
    (12)   $${z=\mathrm{Tan}^{-1}\frac{y}{x}}$$，$x=u^2-v^2$，$y=2uv$     (13)   $${z=\log{\sqrt{x^2+y^2}}}$$，$x=u^2-v^2$，$y=2uv$

問 2.102 (合成関数の微分)   $z=f(x,y)$, $x=2u+3v$, $y=u-2v$ のとき，次を示せ．
    (1)   $z_u=2z_x+z_y$, $z_v=3z_x-2z_y$     (2)   $(z_u)^2+(z_v)^2=13(z_x)^2+5(z_y)^2-8z_xz_y$

問 2.103 (合成関数の微分)   $z=f(x,y)$, $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ のとき，次を示せ．
    (1)   $z_r=z_x\cos\theta +z_y\sin\theta$, $z_{\theta}=-z_x r\sin\theta +z_y r\cos \theta$     (2)   $${(z_x)^2+(z_y)^2=(z_r)^2+\left(\frac{z_\theta}{r}\right)^2}$$

問 2.104 (合成関数の微分)   次の関数 $f(x,y)$ の点 $A$ における 方向 $\vec{p}$ の方向微分を求めよ．
    (1)   $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$, $A(1,1)$, $${\vec{p}=\begin{bmatrix}1\\ 1 \end{bmatrix}}$$     (2)  $f(x,y)=xy$, $A(1,-1)$, $${\vec{p}=\begin{bmatrix}\cos\theta \\ \sin\theta \end{bmatrix}}$$

平成21年1月14日