2.20 2 変数関数 と 2 変数関数の合成関数の微分

定理 2.91 (合成関数の微分)   2 変数関数 $z=f(x,y)$ と 2 変数関数 $x=\phi(u,v)$, $v=\psi(u,v)$ の 合成関数 $z=f(\phi(u,v),\psi(u,v))$ の偏微分は

$$\frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+ \fr... ...tial x}{\partial v}+ \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}$$

で与えられる．代入も含めて書くと

$$\frac{\partial}{\partial u} f(\phi(u,v),\psi(u,v)) = f_x(\phi(u,v),\psi(u,v))\phi_u(u,v)+ f_y(\phi(u,v),\psi(u,v))\psi_u(u,v),$$

$$\frac{\partial}{\partial v} f(\phi(u,v),\psi(u,v)) = f_x(\phi(u,v),\psi(u,v))\phi_v(u,v)+ f_y(\phi(u,v),\psi(u,v))\psi_v(u,v)$$

と表される．

例 2.92 (合成関数の微分の具体例)   関数 $z=xy^2+x^2y$ と関数 $x=u+v$, $y=u-v$ の 合成関数の偏導関数を求める．まず，

$$z_{x}=y^2+2xy=(u-v)^2+2(u+v)(u-v)=3u^2-v^2-2uv,$$

$$z_{y}=2xy+x^2=2(u+v)(u-v)+(u+v)^2=3u^2-v^2+v^2+2uv,$$

$$x_{u}=1,\qquad y_{u}=1,\qquad x_{v}=1,\qquad y_{v}=-1$$

より，

$$z_u=z_xx_u+z_yy_u= (3u^2-v^2-2uv)+(3u^2-v^2+v^2+2uv)=6u^2-2v^2,$$

$$z_v=z_xx_v+z_yy_v= (3u^2-v^2-2uv)-(3u^2-v^2+v^2+2uv)=-4uv$$

を得る．

例 2.93 (合成関数の微分の具体例)   関数 $z=xy^2+x^2y$ と関数 $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ の 合成関数の偏導関数を求める．まず，

$$z_{x}=y^2+2xy=r^2(\sin^2\theta+2\cos\theta\sin\theta), z_{y}=2xy+x^2=r^2(2\cos\theta\sin\theta+\cos^2\theta),$$

$$x_{r}=\cos\theta, \qquad y_{r}=\sin\theta, x_\theta=-r\sin\theta, \qquad y_\theta=r\cos\theta$$

より，

$$z_r=z_xx_r+z_yy_r= 3r^2\sin\theta\cos\theta(\sin\theta+\cos\theta)$$

$$z_\theta=z_xx_\theta+z_yy_\theta= r^3(1+3\sin\theta\cos\theta)(\cos\theta-\sin\theta)$$

を得る．

平成21年1月14日