2.32 根号の有理化による極限の計算

例 2.122 (関数の極限の計算例)  

$$\lim_{x\to0} \frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x} = \lim_{x\to0} \frac{(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})}{x(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})}$$

$$= \lim_{x\to0} \frac{(1+x)-(1-x)}{x(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})} = \lim_{x\to0} \frac{2x}{x(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})}$$

$$= \lim_{x\to0} \frac{2}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}= \frac{2}{\sqrt{1+0}+\sqrt{1-0}}=1\,.$$

例 2.123 (関数の極限の計算例)  

$$\lim_{x\to0} \frac{x}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}} = \lim_{x\to0} \frac{x(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})}{(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})}$$

$$= \lim_{x\to0} \frac{x(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})}{(1+x)-(1-x)}= \lim_{x\to0} \frac{x(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})}{2x}$$

$$= \lim_{x\to0} \frac{1}{2}(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})= \frac{1}{2}(\sqrt{1+0}+\sqrt{1-0})=1\,.$$

平成21年6月1日