6.10 有理関数の積分～部分分数分解

例 6.53 (部分分数展開の具体例)

$\displaystyle \frac{1}{1+x}$	$\displaystyle \,.$
$\displaystyle \frac{x}{(1+x)^2}$	$\displaystyle = \frac{(1+x)-1}{(1+x)^2}= \frac{1}{1+x}-\frac{1}{(1+x)^2}\,.$
$\displaystyle \frac{x}{(1+x)^3}$	$\displaystyle = \frac{(1+x)-1}{(1+x)^3}= \frac{1}{(1+x)^2}-\frac{1}{(1+x)^3}\,.$
$\displaystyle \frac{x^2}{(1+x)^3}$	$\displaystyle = \frac{(1+x)^2-2(1+x)+1}{(1+x)^3}= \frac{1}{1+x}-\frac{2}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+x)^3}\,,$
$\displaystyle \frac{x^2-2x+1}{(1+x)^3}$	$\displaystyle = \left( \frac{1}{1+x}-\frac{2}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+x)^3}\right) -2\left(\frac{1}{(1+x)^2}-\frac{1}{(1+x)^3}\right) +\frac{1}{(1+x)^3}$
	$\displaystyle = \frac{1}{1+x}-\frac{4}{(1+x)^2}+\frac{4}{(1+x)^3}\,.$

例 6.54 (部分分数展開の計算例) 部分分数分解

$\displaystyle \frac{1}{x^4-x^3+x+1}$

$\displaystyle = \frac{1}{(x-1)^2(x^2+x+1)}= \frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}+ \frac{Cx+D}{x^2+x+1}$

を行う．係数 , , , を決定する．通分し分子を比較すると

$\displaystyle 1=A(x-1)(x^2+x+1)+ B(x^2+x+1)+ (Cx+D)(x-1)^2$

となる．これは恒等式であるから，どの実数に対しても成立する必要がある．例えば， , , , をそれぞれ代入すると

$\displaystyle 1=3B, \quad 1=-A+B+D, \quad 1=-2A+B-4C+4D, \quad 1=7A+7B+2C+D$

を得る．これを解くと

$\displaystyle A=-\frac{1}{3}, \quad B=\frac{1}{3} \quad C=\frac{1}{3}, \quad D=\frac{1}{3}$

となる．よって，

$\displaystyle \frac{1}{x^4-x^3+x+1}$

$\displaystyle = \frac{1}{3}\left( -\frac{1}{x-1}+\frac{1}{(x-1)^2}+ \frac{x+1}{x^2+x+1} \right)$

を得る．

例 6.55 (部分分数展開の計算例) 部分分数分解

$\displaystyle \frac{1}{x^3(x+1)(x^2+1)^2}= \frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x^3}+ \frac{D}{x+1}+ \frac{Ex+F}{x^2+1}+ \frac{Gx+H}{(x^2+1)^2}$

を行う．係数 , , , , , , , を決定する．通分し分子の比較をすると，

$\displaystyle 1$	$\displaystyle = A\,x^2(x+1)(x^2+1)^2+ B\,x(x+1)(x^2+1)^2+ C\,(x+1)(x^2+1)^2$
	$\displaystyle + D\,x^3(x^2+1)^2$
	$\displaystyle + (Ex+F)x^3(x+1)(x^2+1)+ (Gx+H)x^3(x+1)$

となる．これは恒等式であるから，すべての実数および複素数に対しても成立する必要がある．例えば， , , をそれぞれ代入すると

$\displaystyle 1=C, \quad 1=4D, \quad 1=(G-H)i+(G+H)$

となる．これを解くと， , $\displaystyle{D=-\frac{1}{4}}$ , $\displaystyle{G=\frac{1}{2}}$ , $\displaystyle{H=\frac{1}{2}}$ を得る．恒等式を展開し同じ次数でまとめると

$\displaystyle 1$	$\displaystyle = \left(A+E-\frac{1}{4}\right)x^7+ \left(A+B+E+F\right)x^6+ \left(2A+B+E+F+1\right)x^5$
	$\displaystyle + \left(2A+2B+E+F+2\right)x^4+ \left(A+2B+F+\frac{9}{4}\right)x^3+ \left(A+B+2\right)x^2+ \left(B+1\right)x+ 1$

となる． , , , の係数を比較すると

$\displaystyle A+E-\frac{1}{4}=0, \quad A+2B+F+\frac{9}{4}, \quad A+B+2=0, \quad B+1=0$

となる．これを解くと

$\displaystyle A=-1,\quad B=-1,\quad E=\frac{5}{4},\quad F=\frac{3}{4}$

を得る．よって，

$\displaystyle \frac{1}{x^3(x+1)(x^2+1)^2}= -\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}+ -\frac{1}{4(x+1)}+ \frac{5x+3}{4(x^2+1)}+ \frac{x+1}{2(x^2+1)^2}$

となる．

平成21年6月1日

6.10 有理関数の積分 ～ 部分分数分解

6.10 有理関数の積分～部分分数分解