5.18 ランダウの記号

定義 5.43 (ランダウの記号)   関数 $f(x)$, $g(x)$ に対して

$$\lim_{x\to a} \left\vert\frac{f(x)}{g(x)}\right\vert=0$$

が成り立つとき，

$$f(x)=o(g(x))\quad (x\to a)$$

と表記する． $o(\cdot)$ はランダウ（Landau）の記号であり， ラージオーと読む． またこのとき， $f$ は $g$ に比べ無視できるという．

定義 5.44 (ランダウの記号)   関数 $f(x)$, $g(x)$ に対して

$$\lim_{x\to a} \left\vert\frac{f(x)}{g(x)}\right\vert=b<\infty$$

が成り立つとき，

$$f(x)=O(g(x))\quad (x\to a)$$

と表記する． $O(\cdot)$ はランダウ（Landau）の記号であり， スモールオーと読む． またこのとき $f$ は $g$ で押さえられるという．

注意 5.45 (二つのランダウの記号の関係)   関数 $f(x)$, $g(x)$ に対して

$$f(x)=O(g(x))\quad (x\to a)$$

が成り立つとき， $b\neq0$ であれば $${\lim_{x\to a} \left(\frac{f(x)}{g(x)}-b\right)=0}$$ となるので

$$f(x)=b\,g(x)+o(g(x)) \quad (x\to a)$$

が成り立つ．

定義 5.46 (無限大，無限小)   関数 $f(x)$, $g(x)$ が $x\to a$ において無限小または 無限大となるとき，次の呼び方を定義する．

• $f\to 0$, $g\to 0$, $f=o(g)$ $(x\to a)$ のとき， $f$ は $g$ より高次の無限小と呼ぶ． または $g$ は $f$ より低次の無限小と呼ぶ．
• $f\to \pm\infty$, $g\to \pm\infty$, $f=o(g)$ $(x\to a)$ のとき， $f$ は $g$ より低次の無限大と呼ぶ． または $g$ は $f$ より高次の無限大と呼ぶ．
• $f\to 0$, $g\to 0$, $f=O(g)$ $(x\to a)$ のとき， $f$ と $g$ とは同次の無限小と呼ぶ．
• $f\to \pm\infty$, $g\to \pm\infty$, $f=O(g)$ $(x\to a)$ のとき， $f$ と $g$ とは同次の無限大と呼ぶ．

例 5.47 (ランダウの記号の使用例)  

$$e^{x} = 1+x+O(x^2)=1+x+o(x) \quad(x\to0)$$

$$=1+x+\frac{x^2}{2}+O(x^3)= 1+x+\frac{x^2}{2}+o(x^2) \quad(x\to0)$$

$$\sin x = x+O(x^3)=x+o(x) \quad(x\to0)$$

$$= x-\frac{x^3}{3!}+O(x^5)= x-\frac{x^3}{3!}+o(x^3) \quad(x\to0)$$

$$\log(1+x) = x-\frac{x^2}{2}+O(x^3)= x-\frac{x^2}{2}+o(x^2) \quad(x\to0)$$

$$= x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+O(x^4)= x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+o(x^3) \quad(x\to0)$$

注意 5.48 (テイラー展開とランダウの記号)   テイラー展開により

$$f(x) = f(a)+f'(a)(x-a)+ \frac{f''(a)}{2}(x-a)^2+ \cdots+ \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}+ O\left((x-a)^{n+1}\right)\,,$$

$$f(x) = f(a)+f'(a)(x-a)+ \frac{f''(a)}{2}(x-a)^2+ \cdots+ \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}+ o\left((x-a)^{n}\right)$$

が成り立つ．なぜなら

$$\lim_{x\to a} \left\vert\frac{R_{n+1}(x)}{(x-a)^{n+1}}\right\vert... ...))}{(n+1)!}\right\vert= \left\vert\frac{f^{(n+1)}(a)}{(n+1)!}\right\vert<\infty$$

となるからである．同様に

$$\lim_{x\to a} \left\vert\frac{R_{n+1}(x)}{(x-a)^{n}}\right\vert= ... ...)!}(x-a)\right\vert= \left\vert\frac{f^{(n+1)}(a)}{(n+1)!}\times 0\right\vert=0$$

となることより得られる．

平成21年6月1日