4.18 ちょっとまとめ

定理 4.106 (行列式の性質)   $n$ 次正方行列 $A$ に対して次の条件は等価である．

(1)

$\det(A)\neq0$

(2)

$A$ は正則である．

(3)

$\mathrm{rank}\,(A)=n$

(4)

$A$ は $E$ に簡約化される．

(5)

$A$ は逆行列 $${A^{-1}=\frac{\widetilde{A}}{\vert A\vert}}$$ をもつ．

(6)

方程式 $A\vec{x}=\vec{b}$ は一意な解 $${x_{j}= \frac{\vert\cdots\vec{a}_{j-1}\,\,\vec{b}\,\,\vec{a}_{j+1}\cdots\vert} {\vert A\vert}}$$ をもつ．

定理 4.107 (行列式の性質)   $n$ 次正方行列 $A$ に対して次の条件は等価である．

(1)

$\det(A)=0$

(2)

$A$ は非正則である．

(3)

$\mathrm{rank}\,(A)<n$

(4)

$A$ は $E$ に簡約化されない．

(5)

$A$ は逆行列をもたない．

(6)

方程式 $A\vec{x}=\vec{b}$ は一意な解をもたない．
（任意定数を含む解をもつ．もしくは，解をもたない．）

平成20年2月2日