4.16 クラメールの公式

定理 4.98 (クラメールの方法) 連立 1 次方程式 $A\vec{x}=\vec{b}$ に関して，係数行列

$\displaystyle A= \begin{bmatrix}\vec{a}_{1} & \vec{a}_{2} & \cdots & \vec{a}_{n} \end{bmatrix}$

(784)

が次正方行列でかつ正則なとき，方程式の解 $\vec{x}={[ x_{1}\,\,x_{2}\,\,\cdots\,\,x_{n}]}^{T}$ は

$\displaystyle x_{j}$

$\displaystyle = \frac{\det \begin{bmatrix}\vec{a}_{1} & \cdots & \vec{a}_{j-1} ... ...a}_{j+1} & \cdots & \vec{a}_{n} \end{bmatrix}} {\det(A)}\,,\quad j=1,2,\cdots,n$

(785)

で与えられる．これをクラメールの方法（Cramer's rule）という．

（証明）は正則であるから，方程式 $A\vec{x}=\vec{b}$ に左から $A^{-1}$ を掛けると

$\displaystyle \vec{x}=A^{-1}\vec{b}= \frac{1}{\det(A)}\widetilde{A}\vec{b}$

(786)

が成り立つ．成分で表すと

$\displaystyle \begin{bmatrix}x_{1} \\ \vdots \\ x_{j} \\ \vdots \\ x_{n} \end{b... ...n} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{n} \end{bmatrix}$

(787)

より

$\displaystyle x_{j}= \frac{1}{\vert A\vert}\left( b_{1}\Delta_{1j}+ b_{2}\Delta... ... b_{n}\Delta_{nj}\right)= \frac{1}{\vert A\vert} \sum_{k=1}^{n}b_{k}\Delta_{kj}$

(788)

を得る．これは第列の余因子展開だから

$\displaystyle x_{j}= \frac{1}{\vert A\vert} \begin{vmatrix}a_{11}\! & \!\cdots\... ...1}\! & \!\vec{b}\! & \!\vec{a}_{j+1} & \!\cdots\! & \!\vec{a}_{n} \end{bmatrix}$

(789)

が示された．

注意 4.99 (クラメールの方法) 解をもつためには分母 $\det(A)$ が 0 となってはいけない． $\det(A)\neq0$ である必要がある．すなわちは正則のときクラメールの方法は使用できる．

例 4.100 (クラメールの公式の使用例) 方程式

$\displaystyle \begin{bmatrix}5 & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_{1} \\ x_{2} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}3 \\ 2 \end{bmatrix}$

(790)

を考える．行列式は

$\displaystyle \det(A)= \begin{vmatrix}5 & 1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} =7$

(791)

であり，解は

$\displaystyle x_{1}= \frac{1}{7} \begin{vmatrix}3 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix}= \... ...uad x_{2}= \frac{1}{7} \begin{vmatrix}5 & 3 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}= \frac{1}{7}$

(792)

と求まる．

例 4.101 (クラメールの公式の使用例) 方程式

$\displaystyle \begin{bmatrix}1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & -2 & 1 \end{bmatrix}... ...{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}$

(793)

の解を求める．

$\displaystyle \det(A)= \begin{vmatrix}1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix} = 5$

(794)

であり，解は

$\displaystyle x_{1}$	$\displaystyle = \frac{1}{\vert A\vert} \begin{vmatrix}1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \\ -1 & -2 & 1 \end{vmatrix} = \frac{9}{5}\,,$	(795)
$\displaystyle x_{2}$	$\displaystyle = \frac{1}{\vert A\vert} \begin{vmatrix}1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \frac{6}{5}\,,$	(796)
$\displaystyle x_{3}$	$\displaystyle = \frac{1}{\vert A\vert} \begin{vmatrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & -1 \end{vmatrix}= -\frac{2}{5}$	(797)

である．

平成20年2月2日