3.10 解をもつための連立 1 次方程式の条件

連立 1 次方程式

$$A\,\vec{x}=\vec{b}\,,\qquad A=[a_{ij}]_{m\times n}\,,\quad \vec{b}=[b_{i}]_{m\times1}\,,\quad \vec{x}=[x_{j}]_{n\times1}$$ (455)

を考える． 以後この方程式に対して議論する．

方程式 $A\,\vec{x}=\vec{b}$ の解を求めるには まず，拡大係数行列 $[A\vert\vec{b}]$ の簡約化を行なう． このとき得られた行列が

$$[A\vert\vec{b}] \overset{\text{簡約化}}{\longrightarrow} \left[\b... ... & & &&& \cdots & 0 & 0 \\ 0 & \cdots & & &&& \cdots & 0 & 0 \end{array}\right]$$ (456)

と得られたとしよう． このとき零ベクトルではない一番下の行に着目すると

$$0\times x_{1}+0\times x_{2}+0\times x_{3}+\cdots+ 0\times x_{n} = 1$$ (457)

となる．$0=1$ となり矛盾する． よってこのとき， 方程式 $A\,\vec{x}=\vec{b}$ は解をもたない． 各係数行列のランクに着目すると，

$$A \overset{\text{簡約化}}{\longrightarrow} \left[\begin{array}{cc... ...& \cdots & & &&& \cdots & 0 \\ 0 & \cdots & & &&& \cdots & 0 \end{array}\right]$$ (458)

であるから，

$$\mathrm{rank}\,(A)<\mathrm{rank}\,([A\,\vert\,\vec{b}])$$ (459)

が成り立つ． この条件のもとでは解をもたない． 次に簡約化の結果として

$$[A\vert\vec{b}] = \left[\begin{array}{cccccccc\vert c} \!1\! & ** & \!0\! & ** & ... ... & & &&& \cdots & 0 & 0 \\ 0 & \cdots & & &&& \cdots & 0 & 0 \end{array}\right]$$ (460)

を得たとする． こときは解をもつ． 係数行列のランクは $\mathrm{rank}\,(A)=\mathrm{rank}\,([A\vert\vec{b}])$ が成り立つ． 以上をまとめると次の定理が成り立つ．

定理 3.35 (連立 1 次方程式の可解条件)   方程式 $A\,\vec{x}=\vec{b}$ が解をもつための 必要十分条件は

$$\mathrm{rank}\,([A\vert\vec{b}])=\mathrm{rank}\,(A)$$ (461)

である．

解に任意定数を含まないのは， 簡約行列のすべての列に主成分が現れるときである． つまり係数行列のランクと変数の個数が一致するときである． これをまとめると以下の定理を得る．

定理 3.36 (一意な解をもつ条件)   方程式 $A\,\vec{x}=\vec{b}$ が唯一つの解をもつための 必用十分条件は

$$\mathrm{rank}\,(A)=\mathrm{rank}\,([A\vert\vec{b}])=n$$ (462)

である．

定理 3.37 (任意定数を含む解をもつ条件)   方程式

$$A\vec{x}=\vec{b}\,,\quad A=[a_{ij}]_{m\times n}\,,\quad \vec{x}=[x_{j}]_{n\times 1}\,,\quad \vec{b}=[b_{i}]_{m\times 1}$$ (463)

は

$$\mathrm{rank}\,(A)=\mathrm{rank}\,[A\vert\vec{b}]<n$$ (464)

のとき任意定数を含む解をもつ． このとき任意定数の個数は

$$n-\mathrm{rank}\,(A)$$ (465)

である．

平成20年2月2日