2.18 行列のベクトルへの分割

例 2.73 (行列を列ベクトル，行ベクトルへ分割)   行列を分割し列ベクトルと行ベクトルでそれぞれ表す． 行列

$$A = \begin{bmatrix}1 & 3 & 4 & 4 \\ 2 & 1 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 5 & 0 \end{bmatrix}$$ (362)

を考える． 行列を一列ずつ縦に分割し，

$$A = \begin{bmatrix}\vec{a}_{1} & \vec{a}_{2} & \vec{a}_{3} & \vec{a}_{4} \end{bmatrix}$$ (363)

と表わす． ただし，

$$\vec{a}_{1} = \begin{bmatrix}1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}\,, \vec{a}_{2} = \begin{bmatrix}3 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}\,, \vec{a}_{3} = \begin{bmatrix}4 \\ 0 \\ 5 \end{bmatrix}\,, \vec{a}_{4} = \begin{bmatrix}4 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}\, 3\times1$$ (364)

とおく． 行列を一行ずつ分割し，

$$A = \begin{bmatrix}\vec{b}_{1} \\ \vec{b}_{2} \\ \vec{b}_{3} \end{bmatrix}$$ (365)

と表わす． ただし，

$$\vec{b}_{1} = \begin{bmatrix}1 & 3 & 4 & 4 \end{bmatrix}\,, \vec{b}_{2} = \begin{bmatrix}2 & 1 & 0 & -1 \end{bmatrix}\,, \vec{b}_{3} = \begin{bmatrix}1 & 0 & 5 & 0 \end{bmatrix}\,$$ (366)

$$1\times4$$

とおく．

問 2.74   教科書（p.14）問題1.3.

例 2.75 (行列をベクトルに分割したときの積の表現)   行列の積をベクトルを用いて表現する． 行列 $A$ と行列 $B$ の積 $AB$ を考える． 行列 $A$ は

$$A = \begin{bmatrix}a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \v... ...uad \vec{a}_{i}= \begin{bmatrix}a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \end{bmatrix}$$ (367)

のように行ベクトルに分割する． 行列 $B$ は

$$B = \begin{bmatrix}b_{11} & \cdots & b_{1r} \\ \vdots & \ddots & \v... ...vec{b}_{j}= \begin{bmatrix}b_{1j} \\ b_{2j} \\ \vdots \\ b_{nj} \end{bmatrix}\,$$ (368)

のように列ベクトルに分割する． このとき積 $AB$ は

$$AB = \begin{bmatrix}\vec{a}_{1} \\ \vec{a}_{2} \\ \vdots \\ \vec{a}_... ...} \begin{bmatrix}\vec{b}_{1} & \vec{b}_{2} & \cdots & \vec{b}_{r} \end{bmatrix}$$ (369)

$$= \begin{bmatrix}\vec{a}_{1}\vec{b}_{1} & \vec{a}_{1}\vec{b}_{2} ... ... & (\vec{a}_{m},\vec{b}_{2}) & \cdots & (\vec{a}_{m},\vec{b}_{r}) \end{bmatrix}$$ (370)

$$= \begin{bmatrix}A \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\vec{b}_{1} & \ve... ...begin{bmatrix}A\vec{b}_{1} & A\vec{b}_{2} & \cdots & A\vec{b}_{r} \end{bmatrix}$$ (371)

$$= \begin{bmatrix}\vec{a}_{1} \\ \vec{a}_{2} \\ \vdots \\ \vec{a}_... ...in{bmatrix}\vec{a}_{1}B \\ \vec{a}_{2}B \\ \vdots \\ \vec{a}_{m}B \end{bmatrix}$$ (372)

と表わされる． ここで

$$\vec{a}_{i}\vec{b}_{j} = (\vec{a}_{i},\vec{b}_{j})= \vec{a}_{i}\cdot\vec{b}_{j}= \sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}$$ (373)

となることに注意する．

例 2.76 (行列の積の具体例)  

$$\underset{\text{\small 連立 1 次方程式}}{ \left\{\begin{array}{l} x+4y+5z = -1 \\ 9x+2y+6z = -2 \\ 8x+7y+3z = -3 \end{array}\right.}$$ (374)

$$\quad\Leftrightarrow\quad \underset... ...2} & \vec{a}_{3} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\ y \\ z \end{bmatrix}=\vec{b}$$ (375)

$$\quad\Leftrightarrow\quad x \begin{bmatrix}1 \\ 9 \\ 8 \end{bmatr... ...quad \Leftrightarrow \quad x\,\vec{a}_{1}+y\,\vec{a}_{2}+z\,\vec{a}_{3}=\vec{b}$$ (376)

平成20年2月2日