2.5 転置行列

定義 2.18 (転置行列)   行と列の成分を入れ換えた行列

$${A}^{T} = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{21} & a_{31} & \cdots & a_{m1} \\ a_... ...& \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & a_{3n} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}\,$$ (269)

を転置行列（transposed matrix）と呼ぶ． 行と列を入れ換える演算を転置（transpose）をとるという． 転置された行列を ${A}^{T}$ と書く．また ${}^{t}A$ と書くこともある．

例 2.19 (転置の具体例)  

$$A = \begin{bmatrix}1 & 3 & -2 \\ 4 & 5 & 2 \end{bmatrix}\,,\qquad {A}^{T}= \begin{bmatrix}1 & 4 \\ 3 & 5 \\ -2 & 2 \end{bmatrix}\,.$$ (270)

問 2.20   ${({A}^{T})}^{T}=A$ を示せ．

（証明） $A=[a_{ij}]$, ${A}^{T}=[b_{ij}]$ とおく． 行と列を入れ換えるので ${A}^{T}$ は ${A}^{T}=[a_{ji}]$ とも書ける． つまり $b_{ij}=a_{ji}$ となる． 転置をとる操作を成分でみると， 行と列の添字を入れ換える操作に対応する． よって

$${({A}^{T})}^{T} = {({[a_{ij}]}^{T})}^{T}= {([a_{ji}])}^{T}= [a_{ij}]=A$$ (271)

となる．証明終了．

平成20年2月2日