1.18 外積の性質

定理 1.88 (外積の性質)    

(i)

$(\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c}= \vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})$ （結合則）

(ii)

$\vec{a}\times(\vec{b}+\vec{c})= \vec{a}\times\vec{b}+\vec{a}\times\vec{c}$,     $(\vec{a}+\vec{b})\times\vec{c}= \vec{a}\times\vec{c}+\vec{b}\times\vec{c}$ （分配則）

(iii)

$(\alpha\vec{a})\times\vec{b}=\alpha(\vec{a}\times\vec{b})= \vec{a}\times(\alpha\vec{b})$ （スカラー倍の結合則）

(iv)

$\vec{a}\times\vec{b}=-\vec{b}\times\vec{a}$ （交換則）

(v)

$\vec{a}\times\vec{a}=\vec{0}$

(vi)

$\vec{a}\parallel\vec{b}\Leftrightarrow\vec{a}\times\vec{b}=\vec{0}$

問 1.89 (外積の性質)   これを示せ．

（証明） (iv) 積の順を入れ換えると向きが反対向きになるため． (v) 自分自身との角度は $\theta=0$ であるから長さは 0 となり， 外積は $\vec{0}$ である． (vi) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が並行なとき $\theta=0$ であるから長さは 0 となり， 外積は $\vec{0}$ である．

注意 1.90 (内積の性質)   外積の性質と内積の性質の違いに注意する：

(i)

$\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}$.

(ii)

$\vec{a}\cdot\vec{a}=\Vert\vec{a}\Vert^2$.

(iii)

$\vec{a}\perp\vec{b}\Leftrightarrow\vec{a}\cdot\vec{b}=0$.

問 1.91 (外積の性質)   次の関係式を示せ．
    (1)   $(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{a}=0$     (2)   $(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{b}=0$     (3)   $(\vec{a}-\vec{b})\times(\vec{a}+\vec{b})=2(\vec{a}\times\vec{b})$
    (4)   $(\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c}= (\vec{a}\cdot\vec{c})\vec{b}-(\vec{b}\cdot\vec{c})\vec{a}$,     $\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})= (\vec{a}\cdot\vec{c})\vec{b}-(\vec{a}\cdot\vec{b})\vec{c}$. これをベクトル $3$ 重積 (vector triple product)または ラグランジュの公式 (Lagrange's formula)という．
    (5)   $(\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c}+ (\vec{b}\times\vec{c})\times\vec{a}+ (\vec{c}\times\vec{a})\times\vec{b}=\vec{0}$. これをヤコビの公式 (Jacobi's formula)という．
    (6)   $(\vec{a}\times\vec{b})\cdot(\vec{c}\times\vec{d})= (\vec{a}\cdot\vec{c})(\vec{b}\cdot\vec{d})- (\vec{a}\cdot\vec{d})(\vec{b}\cdot\vec{c})$
    (7)   $${ \vec{a}\cdot(\vec{b}\times(\vec{c}\times\vec{d}))= (\vec{a}\tim... ...cdot\vec{c} \\ [-.3ex] \vec{a}\cdot\vec{d} & \vec{b}\cdot\vec{d} \end{vmatrix}}$$

平成20年2月2日