1.15 内積の幾何学的イメージ

注意 1.81 (ベクトルの内積の図説) ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の成す角を $\theta$ とするとき

$\displaystyle \vec{a}\cdot\vec{b}= \Vert\vec{a}\Vert\Vert\vec{b}\Vert\cos\theta= (\Vert\vec{a}\Vert\cos\theta)(\Vert\vec{b}\Vert)$

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が成り立つ．すなわち，辺の長さが $\Vert\vec{a}\Vert\cos\theta$ と $\Vert\vec{b}\Vert$ の長方形の面積を表す．角度 $\theta$ の値により面積は変化する． $\vec{a}$ と $\vec{b}$ とが同じ向きのとき，すなわち $\theta=0$ のときは，面積は最大値をとり $\vec{a}\cdot\vec{b}=\Vert\vec{a}\Vert\Vert\vec{b}\Vert$ で与えられる． $\vec{a}$ と $\vec{b}$ とが直交し $\theta=\pi/2$ のときは，面積は最小値をとり $\vec{a}\cdot\vec{b}=0$ で与えられる．