4.2 数列の極限

数列 $ \{a_{n}\}$

$\displaystyle 1,\,\frac{1}{2},\,\frac{1}{3},\,\frac{1}{4},\,\frac{1}{5},\,\cdots,\, \frac{1}{n},\,\cdots$ (9)

と与えられたとする. この数列 $ \{a_{n}\}$$ n$ が 限りなく大きくなるにつれて 0 にどんどんと近づいて行く. このことを数学的には, 数列 $ \{a_{n}\}$極限(limit)が存在し 0収束する(convergent), という. 一般的には次のように表現する.

定義 4.6 (数列の極限)  

  $ n$ が限りなく大きくなるにつれて,    
      $ a_{n}$ は限りなくある確定した有限値 $ a$ に近づいて行く.    
  $\displaystyle \quad\Leftrightarrow \lim_{n\to\infty} a_{n} = a$    
  $\displaystyle \quad\Leftrightarrow a_{n}\to a \quad (n\to\infty)$    
  $\displaystyle \quad\Leftrightarrow$   $ a_{n}$ の極限は $ a$ である.    
  $\displaystyle \quad\Leftrightarrow$   $ a_{n}$$ a$ に収束する.    

収束しない場合を発散する(divergent)という.

注意 4.7 (数列の極限に関する注意)   数列([*])は $ a_{n}=1/n>0$ であるので, $ a_{n}$ がいかに 0 に近づいたとしても, 決して 0 になることはない. $ a_{n}\neq 0$ である. $ \displaystyle{\lim_{n\to\infty}a_{n}}=0$ の意味はあくまでも, 数列 $ a_{n}$ は 0 に近づいて行く,という意味である.

4.8 (負べきで表される数列の極限)   次の一般項をもつ数列をそれぞれ考える:

$\displaystyle a_{n}=\frac{1}{n}\,, \qquad a_{n}=\frac{1}{n^2}\,, \qquad a_{n}=\frac{1}{n^3}\,, \qquad \cdots\,, \qquad a_{n}=\frac{1}{n^p}\,, \qquad \cdots$    

すべての数列に対して $ \displaystyle{\lim_{n\to\infty}a_{n}=0}$ である. これは標語的に書くと $ a_{\infty}=\frac{1}{\infty}=0$ である. このとき数列は有限確定である.


平成19年10月3日