4.1 数列

定義 4.1 (数列)   数列（sequence）とは数を順番に並べたものであり，

$$a_{1},\, a_{2},\, a_{3},\, a_{4},\, \cdots,\, a_{n},\, \cdots$$

$$\quad =\{\,a_{n}\,\vert\,n=1,2,3,\cdots\}$$

$$\quad =\{\,a_{n}\,\vert\,n\in\mathbb{N}\}=\{a_{n}\}$$

と書き表す． $n$ 番目の数を第 $n$ 項と呼ぶ． 第 $n$ 項を $n$ に関する式で 書き下したものを一般項（general term）と呼ぶ． 第 $n$ 項，第 $n+1$ 項，$\cdots$ , 第 $n+k$ 項の間の関係を書き下した式を 漸化式（recurrence relation）と呼ぶ．

例 4.2 (数列の一般項と漸化式の具体例)  

$$\{a_{n}\}=1,2,3,4,5,\cdots\,\, \quad a_{n}=n\,, \quad a_{n+1}-a_{n}=1\,.$$ (6)

$$\{a_{n}\}=1,4,7,10,13,\cdots\,\, \quad a_{n}=3n-2\,, \quad a_{n+1}-a_{n}=3\,.$$ (7)

$$\{a_{n}\}=2,4,8,16,32,\cdots\,\, \quad a_{n}=2^{n}\,, \quad a_{n+1}=2a_{n}\,.$$ (8)

数列についていくつか種類をあげる．

定義 4.3 (等差数列)   数列 $\{a_{n}\}$ の隣り合う項の差が一定の数列を 等差数列（arithmetical progression sequence）と呼ぶ． すなわち，漸化式と一般項とがそれぞれ

$$a_{n+1}-a_{n}=a\,, \qquad a_{n}=a\,n+b$$

と表される数列を指す．

定義 4.4 (等比数列)   数列 $\{a_{n}\}$ の隣り合う項の比が一定の数列を 等比数列（geometrical progression sequence）と呼ぶ． すなわち，漸化式と一般項とがそれぞれ

$$\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=r\,, \qquad a_{n}=a\,r^{n-1}$$

と表される数列を指す．

例 4.5 (等差数列と等比数列の具体例)   数列（）は $a_{n+1}-a_{n}=1$ をみたすので等差数列である． 数列（）は $a_{n+1}-a_{n}=3$ をみたすので等差数列である． 数列（）は $a_{n+1}/a_{n}=2$ をみたすので等比数列である．

平成19年10月3日