3.6 負べきのべき関数の微分

定理 3.16 (負べき関数の微分)  

$$\frac{d}{dx}\,\frac{1}{x^n}= \frac{d}{dx}\,x^{-n}= \frac{-n}{x^{n+1}}=-n\,x^{-n-1} \quad( n )$$

問 3.17   これを示せ．

（証明） $y=f(x)=1/x^n$ とおく． このとき

$$f(x+h)-f(x)=\frac{1}{(x+h)^n}-\frac{1}{x^n}= \frac{x^n-(x+h)^n}{(x+h)^n\,x^n}$$

$$\quad= \frac{\displaystyle{x^n-x^n-n\,x^{n-1}h- h^2\sum_{k=2}^{n}\begin{pmatrix}n \\ k \end{pmatrix}x^{n-h}h^{k-2}}} {(x+h)^n\,x^n}$$

$$\quad= -h\frac{\displaystyle{n\,x^{n-1}+ h\sum_{k=2}^{n}\begin{pmatrix}n \\ k \end{pmatrix}x^{n-k}h^{k-2}}}{(x+h)^n\,x^n}$$

となる．これを用いて

$$\frac{dy}{dx} =f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

$$=-\lim_{h\to0} \frac{\displaystyle{n\,x^{n-1}+ h\sum_{k=2}^{n}\be... ...h^{k-2}}}{(x+h)^n\,x^n}= -\frac{n\,x^{n-1}+0}{(x+0)^n\,x^n}= \frac{-n}{x^{n+1}}$$

を得る．

平成19年10月3日