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5.19 近似関数の誤差の評価

関数 $ f(x)$ の $ n$ 次近似式 $ \tilde{f}_{n}(x)$ の誤差 $ e_{n}(x)$ を考える． テイラー展開

$\displaystyle f(x)$ $\displaystyle = f(a)+f'(a)(x-a)+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}+ R_{n+1}(x)$    

より

$\displaystyle f(x)$ $\displaystyle =\tilde{f}_{n}(x)+R_{n+1}(x)$    

が成り立つ． 誤差（error）を

$\displaystyle e_{n}(x)$ $\displaystyle =\vert\tilde{f}_{n}(x)-f(x)\vert$    

と定義すると， 上の式より誤差は

$\displaystyle e_{n}(x)$ $\displaystyle =\vert\tilde{f}_{n}(x)-f(x)\vert=\vert R_{n+1}(x)\vert$    

と表される．

例 5.48 (誤差の評価の具体例)   $ f(x)=\sin x $ を多項式で近似する． $ x=0$ まわりでテイラー展開して近似式を計算すると

0 次近似： $\displaystyle \quad f(x)\simeq\tilde{f}_{0}(x)=0$    
$ 1$ 次近似： $\displaystyle \quad f(x)\simeq\tilde{f}_{1}(x)=x$    
$ 3$ 次近似： $\displaystyle \quad f(x)\simeq\tilde{f}_{3}(x)=x-\frac{x^3}{6}$    
$ 5$ 次近似： $\displaystyle \quad f(x)\simeq\tilde{f}_{5}(x)=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}$    

を得る． 誤差 $ e_{n}(x)$ は

$\displaystyle e_{0}(x)$ $\displaystyle =\vert\tilde{f}_{0}(x)-f(x)\vert=\vert R_{1}(x)\vert= \vert x\cos\theta x\vert\leq\vert x\vert$    
$\displaystyle e_{1}(x)$ $\displaystyle =\vert\tilde{f}_{1}(x)-f(x)\vert=\vert R_{3}(x)\vert= \left\vert\frac{x^3\cos\theta x}{6}\right\vert\leq \frac{\vert x\vert^3}{6}$    
$\displaystyle e_{3}(x)$ $\displaystyle =\vert\tilde{f}_{3}(x)-f(x)\vert=\vert R_{5}(x)\vert= \left\vert\frac{x^5\cos\theta x}{120}\right\vert\leq \frac{\vert x\vert^5}{120}$    
$\displaystyle e_{5}(x)$ $\displaystyle =\vert\tilde{f}_{5}(x)-f(x)\vert=\vert R_{7}(x)\vert= \left\vert\frac{x^7\cos\theta x}{7!}\right\vert\leq \frac{\vert x\vert^7}{7!}$    

である． ここで $ \vert\cos\theta x\vert\leq1$ を用いた．

いま $ x=1$ のときの誤差を考える． このとき誤差は

$\displaystyle e_{0}(1)$ $\displaystyle \leq 1$   $\displaystyle \to$ $\displaystyle e_{0}$ $\displaystyle \sim 1$   有効桁数：$ 0,1$ 桁程度    
$\displaystyle e_{1}(1)$ $\displaystyle \leq\frac{1}{6}=0.1666...<0.2$   $\displaystyle \to$ $\displaystyle e_{1}$ $\displaystyle \sim 2\times10^{-1}$   有効桁数：$ 1,2$ 桁程度    
$\displaystyle e_{3}(1)$ $\displaystyle \leq\frac{1}{120}=0.008333...<0.01$   $\displaystyle \to$ $\displaystyle e_{3}$ $\displaystyle \sim 1\times10^{-2}$   有効桁数：$ 2,3$ 桁程度    
$\displaystyle e_{5}(1)$ $\displaystyle \leq\frac{1}{7!}=0.000198...<0.0002$   $\displaystyle \to$ $\displaystyle e_{5}$ $\displaystyle \sim 2\times10^{-4}$   有効桁数：$ 4,5$ 桁程度    

となる．近似の次数が大きいほど誤差は小さい． 次に誤差 $ e_{n}(x)$ が $ 0.01$ 以下となるような $ x$ の範囲を求める． 上の誤差の評価式より

$\displaystyle e_{0}(x)\leq\vert x\vert\leq 0.01$ $\displaystyle \quad\to \quad \vert x\vert\leq 0.01$    
$\displaystyle e_{1}(x)\leq\frac{\vert x\vert^3}{6}\leq 0.01$ $\displaystyle \quad\to \quad \vert x\vert^3\leq 0.06 \quad\to \quad \vert x\vert\leq 0.391$    
$\displaystyle e_{3}(x)<\frac{\vert x\vert^5}{120}\leq 0.01$ $\displaystyle \quad\to \quad \vert x\vert^5\leq 1.2 \quad\to \quad \vert x\vert\leq 1.04$    
$\displaystyle e_{5}(x)\leq \frac{\vert x\vert^7}{7!}\leq 0.01$ $\displaystyle \quad\to \quad \vert x\vert^7\leq 50.4 \quad\to \quad \vert x\vert\leq 1.75$    

となる． 近似の次数が上がるほど $ x$ の範囲が広がっている．

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平成19年10月3日