5.18 テイラー級数による関数の近似

定義 5.44 (関数の近似)   関数 $f(x)$ を テイラー級数

$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}$$

で表わし， $n$ 次の項で打ち切った関数

$$\tilde{f}_{n}(x) = f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2}(x-a)^{2}+\cdots+ \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}$$

を $f(x)$ の $n$ 次近似と呼ぶ．

具体的に書くと

$$\quad f(x)\simeq\tilde{f}_{0}(x)=f(a)$$ 0 次近似：

$$1 \quad f(x)\simeq\tilde{f}_{1}(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$$

$$2 \quad f(x)\simeq\tilde{f}_{2}(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+ \frac{f''(a)}{2}(x-a)^2$$

$$\qquad\vdots$$

$$n \quad f(x)\simeq\tilde{f}_{n}(x)= f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2}(x-a)^{2}+\cdots$$

$$\qquad\qquad\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n} n$$

と表される． テイラー級数による関数の近似では $f(x)$ を多項式で近似する．

注意 5.45 (関数の近似)   近似式 $\tilde{f}_{n}(x)$ は 曲線 $y=f(x)$ に点 $x=a$ で接する $n$ 次多項式である．

例 5.46 (関数の近似の具体例)  

$$f(x) =e^{x}=1+x+\frac{x^2}{2}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots$$

$$f(x) \simeq \tilde{f}_{0}(x)=1$$

$$f(x) \simeq \tilde{f}_{1}(x)=1+x$$

$$f(x) \simeq \tilde{f}_{2}(x)=1+x+\frac{x^2}{2}$$

$$f(x) \simeq \tilde{f}_{3}(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}$$

例 5.47 (関数の近似の具体例)  

$$f(x) =\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots$$

$$f(x) \simeq \tilde{f}_{0}(x)=0$$

$$f(x) \simeq \tilde{f}_{1}(x)=\tilde{f}_{2}(x)=x$$

$$f(x) \simeq \tilde{f}_{3}(x)=\tilde{f}_{4}(x)=x-\frac{x^3}{6}$$

$$f(x) \simeq \tilde{f}_{5}(x)=\tilde{f}_{6}(x)=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}$$

平成19年10月3日