4.15 直交行列と正規直交系

定理 4.69 (直交行列と正規直交系)   行列 $A$ が直交行列であることと， 行列 $A$ の列ベクトルまたは行ベクトルが正規直交系であることとは， 必要十分条件である．

（証明）     直交行列 $A$ を列ベクトルに分割し

$$A= \begin{bmatrix}\vec{a}_{1} & \vec{a}_{2} & \cdots & \vec{a}_{n} \end{bmatrix}$$

とおく． ${A}^{T}A=E$ より，

$${A}^{T}A = \begin{bmatrix}{\vec{a}_{1}}^{T} \\ {\vec{a}_{2}}^{T} \\ \cdots... ...a}_{n}}^{T}\vec{a}_{2} & \cdots & {\vec{a}_{n}}^{T}\vec{a}_{n} \\ \end{bmatrix}$$

$$= \begin{bmatrix}\left({\vec{a}_{1}}\,,\,{\vec{a}_{1}}\right) & \... ... & 1 & & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix} =E$$

となるので，

$$\left({\vec{a}_{i}}\,,\,{\vec{a}_{j}}\right)=\delta_{ij}$$

を得る． 行ベトクルに対しても同様の操作で $A{A}^{T}=E$ より示される．

定理 4.70 (直交行列と正規直交基底)   内積空間 $V$ において， $\{\vec{u}_1$, $\cdots$, $\vec{u}_n\}$ と $\{\vec{v}_1$, $\cdots$, $\vec{v}_n\}$ を正規直交基底とする． このとき，基底 $\{\vec{u}_1$, $\cdots$, $\vec{u}_n\}$ から $\{\vec{v}_1$, $\cdots$, $\vec{v}_n\}$ への 変換行列 $P$ は直交行列となる．

（証明）     $P$ は基底の変換行列なので，

$$\left(\vec{v}_1,\,\, \cdots,\,\, \vec{v}_n\right)= \left(\vec{u}_... ...\right)P, \qquad P= \begin{bmatrix}\vec{p}_1 & \cdots & \vec{p}_n \end{bmatrix}$$

と書ける．これより，

$$\vec{v}_{i}= \sum_{k=1}^{n}p_{ki}\vec{u}_{k}$$

である． この式と $\left({\vec{u}_{i}}\,,\,{\vec{u}_{j}}\right)=\delta_{ij}$ より

$$\left({\vec{v}_i}\,,\,{\vec{v}_j}\right) = \left({\sum_{k=1}^{n}p_{ki}\vec{u}_{k}}\,,\,{\sum_{k=1}^{n}p_{k... ...um_{k=1}^{n}\sum_{l=1}^{n} p_{ki}p_{lj}\delta_{kl} = \sum_{k=1}^{n}p_{ki}p_{kj}$$

$$=\left({\vec{p}_{i}}\,,\,{\vec{p}_{j}}\right)$$

を得る． $\left({\vec{v}_{i}}\,,\,{\vec{v}_{j}}\right)=\delta_{ij}$ より $\left({\vec{p}_{i}}\,,\,{\vec{p}_{j}}\right)=\delta_{ij}$ が成り立つ． $P$ の列ベクトルが正規直交系となるので， $P$ は直交行列である．

問 4.71 (直交行列の具体例)   次の行列は直交行列であることを示せ．

$$E= \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \qquad \begin{bma... ... \frac{1}{\sqrt{5}} \\ \frac{-1}{\sqrt{5}} & -\frac{2}{\sqrt{5}} \end{bmatrix},$$

$$\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 &... ... 0 \\ 0 & \sin\theta & \cos\theta \\ 0 & -\cos\theta & \sin\theta \end{bmatrix}$$

問 4.72 (直交行列の具体例)   直交行列 $A\in\mathbb{R}^{2\times2}$ はすべて

$$A = \begin{bmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\th... ...in{bmatrix}\cos\theta & \sin\theta \\ \sin\theta & -\cos\theta \\ \end{bmatrix}$$

の形で表される． これを示せ．

例 4.73 (直交行列の具体例)   グラム・シュミットの直交化法で正規直交化されたベクトル

$$\{\vec{u}_1,\,\,\vec{u}_2,\,\,\vec{u}_3\}= \left\{ \frac{1}{\sqrt... ...rix},\,\, \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{bmatrix}1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix} \right\}$$

を列ベクトルとして並べた行列

$$A= \begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{3}} & \fra... ...\frac{1}{\sqrt{6}} \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{2}{\sqrt{6}} \end{bmatrix}$$

は直交行列となる．

Kondo Koichi
平成18年1月17日