5.34 演習問題 〜 ユニタリー行列で対角化

問 5.116 (対称行列の対角化)   次の行列を直交行列またはユニタリー行列で対角化せよ．

    (1)   $${ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}}$$     (2)   $${ \begin{bmatrix} 1 & -3 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}}$$     (3)   $${ \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 6 \end{bmatrix}}$$     (4)   $${ \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}}$$     (5)   $${ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -2 \end{bmatrix}}$$     (6)   $${ \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 8 \end{bmatrix}}$$
    (7)   $${ \begin{bmatrix} 1 & i \\ -i & 1 \end{bmatrix}}$$     (8)   $${ \begin{bmatrix} i & 1 \\ 1 & i \end{bmatrix}}$$     (9)   $${ \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 0 \end{bmatrix}}$$     (10)   $${ \begin{bmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{bmatrix}}$$     (11)   $${ \begin{bmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}}$$     (12)   $${ \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}}$$
    (13)   $${ \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \end{bmatrix}}$$     (14)   $${ \begin{bmatrix} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}}$$     (15)   $${ \begin{bmatrix} 1 & i & 1 \\ -i & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}}$$     (16)   $${ \frac{1}{6} \begin{bmatrix} 10 & 2i & 2 \\ -2i & 7 & -i \\ 2 & i & 7 \end{bmatrix}}$$
    (17)   $${ \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix}}$$     (18)   $${ \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}}$$     (19)   $${ \begin{bmatrix} 7 & 2 & 0 \\ 2 & 6 & 2 \\ 0 & 2 & 5 \end{bmatrix}}$$     (20)   $${ \begin{bmatrix} 8 & -3 & -3 \\ -3 & 8 & -3 \\ -3 & -3 & 8 \end{bmatrix}}$$
    (21)   $${ \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 4 \\ 1 & 4 & -1 \end{bmatrix}}$$     (22)   $${ \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix}}$$     (23)   $${ \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & -2 & 2 \\ -1 & 2 & 1 \end{bmatrix}}$$     (24)   $${ \begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \end{bmatrix}}$$
    (25)   $${ \begin{bmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{bmatrix}}$$     (26)   $${ \begin{bmatrix} 0 & i & 1 \\ -i & 0 & i \\ 1 & -i & 0 \end{bmatrix}}$$     (27)   $${ \begin{bmatrix} 10 & 2i & 2 \\ -2i & 7 & -i \\ 2 & i & 7 \end{bmatrix}}$$
    (28)   $${ \begin{bmatrix} 2 & 1+i & -3+3i \\ 1-i & -3 & -i \\ -3-3i & i & 5 \end{bmatrix}}$$     (29)   $${ \begin{bmatrix} 5 & -i & 1+i \\ i & 5 & -1+i \\ 1-i & -1-i & 6 \end{bmatrix}}$$     (30)   $${ \begin{bmatrix} 1 & -2 & 2 & 1 \\ -2 & 1 & -1 & -2 \\ 2 & -1 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & 2 & 1 \end{bmatrix}}$$

Kondo Koichi
平成18年1月17日