5.28 交代行列の対角化

定義 5.83 (交代行列)   行列 $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ が ${A}^{T}=-A$ をみたすとき， $A$ を 歪対称行列（skew-symmetric matrix）または 交代行列（alternative matrix）という．

定理 5.84 (交代行列の固有値)   交代行列の固有値はすべて純虚数または 0 である．

（証明）     行列 $A$ の固有値を $\lambda$ としその固有ベトクルを $\vec{x}$ とする． すなわち $A\vec{x}=\lambda\vec{x}$ が成り立つとする． このとき， $\mathbb{C}$ 上の内積を用いて，

$$\left({\lambda\vec{x}}\,,\,{\vec{x}}\right) = \lambda\left({\vec{x}}\,,\,{\vec{x}}\right)= \lambda\Vert\vec{x}\Vert^2$$

$$\left({\lambda\vec{x}}\,,\,{\vec{x}}\right) = \overline{\left({\vec{x}}\,,\,{\lambda\vec{x}}\right)}= \overli... ...ec{x}}\,,\,{\vec{x}}\right)}= -\overline{\left({A\vec{x}}\,,\,{\vec{x}}\right)}$$

$$= -\overline{\left({\lambda\vec{x}}\,,\,{\vec{x}}\right)}= -\over... ...{\lambda}\overline{\Vert\vec{x}\Vert^2}= -\overline{\lambda}\Vert\vec{x}\Vert^2$$

が成り立つ． ここで， $\left({\vec{x}}\,,\,{A\vec{y}}\right)=\left({A^{*}\vec{x}}\,,\,{\vec{y}}\right)$ となることを用いた． これらを比較すると $\lambda\Vert\vec{x}\Vert^2=-\bar{\lambda}\Vert\vec{x}\Vert^2$ となる．固有ベクトル $\vec{x}$ は $\vec{0}$ とはならないから， $\lambda+\overline{\lambda}=0$ が成立する． このとき $\lambda$ は純虚数である．

注意 5.85 (交代行列)   交代行列は正規行列である．

定理 5.86 (交代行列の固有ベクトル)   交代行列において， 異なる固有値に属する固有ベクトルは直交する．

（証明）     交代行列は正規行列であるから固有ベクトルは直交する． または，次のように示す． ${A}^{T}=-A$ において, 固有値は純虚数なので $A\vec{u}=i\lambda\vec{u}$, $A\vec{v}=i\mu\vec{v}$, $\lambda\neq\mu$ ( $\lambda,\mu\in\mathbb{R}$) とする． $\mathbb{C}$ 上の内積を用いて

$$i\lambda\left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right) = \left({i\lambda\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)= \left({A\vec{u}}\... ...t({\vec{u}}\,,\,{{A}^{T}\vec{v}}\right)= -\left({\vec{u}}\,,\,{A\vec{v}}\right)$$

$$= -\left({\vec{u}}\,,\,{i\mu\vec{v}}\right)= -\overline{i\mu}\left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)= i\mu\left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)$$

となる．

$$i(\lambda-\mu)\left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)=0$$

であるから， $\lambda\neq\mu$ より $\left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)=0$ を得る．

定理 5.87 (交代行列の対角化)   交代行列 $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ の 固有値を $\lambda_1,\cdots,\lambda_n$ とする． このとき，$A$ は ユニタリー行列 $U\in\mathbb{C}^{n\times n}$ を用いて

$$D=U^{-1}AU=U^{*}AU,$$

$$D=\mathrm{diag}\,(\lambda_1,\cdots,\lambda_n),$$

$$U= \begin{bmatrix}\vec{p}_1 & \cdots & \vec{p}_n \end{bmatrix}$$

と $\mathbb{C}$ 上で対角化される． ただし， $\vec{p}_1,\cdots,\vec{p}_n$ は $\lambda_1,\cdots,\lambda_n$ の固有ベクトルであり， $U$ がユニタリー行列となるように選ぶとする．

定理 5.88 (交代行列の実標準形)   交代行列 $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ の 固有値を

$$\lambda_1,\,\,\lambda_2=\overline{\lambda_1},\,\, \lambda_3,\,\,\... ...mbda_3},\,\, \cdots,\,\, \lambda_{n-1},\,\,\lambda_{n}=\overline{\lambda_{n-1}}$$

とする． このとき，$A$ は 直交行列 $Q\in\mathbb{R}^{n\times n}$ を用いて

$$D=Q^{-1}AQ={Q}^{T}AQ,$$

$$D= \begin{bmatrix}R(\lambda_1)\!\! \\ [-.8ex] & \!\!R(\lambda_2)\... ...in{bmatrix}0 & -\mathrm{Im}(\lambda) \\ \mathrm{Im}(\lambda) & 0 \end{bmatrix},$$

$$Q= \begin{bmatrix}\mathrm{Im}(\vec{q}_1) & \mathrm{Re}(\vec{q}_1) & \cdots & \mathrm{Im}(\vec{q}_{n-1}) & \mathrm{Re}(\vec{q}_{n-1}) \end{bmatrix}$$

と実標準形でブロック対角化される． ただし， $\vec{q}_1,\cdots,\vec{q}_n$ は $\lambda_1,\cdots,\lambda_n$ の固有ベクトルであり， $Q$ が直交行列となるように選ぶとする．

例 5.89 (交代行列の対角化の具体例)   行列

$$A= \begin{bmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$$

を対角化する．

$$\vert\lambda E-A\vert= \begin{vmatrix}\lambda & -1 \\ 1 & \lambda \end{vmatrix} =\lambda^2+1=0$$

より，固有値は $\lambda=i,-i$ である．

$$iE-A= \begin{bmatrix}i & -1 \\ 1 & i \end{bmatrix} \quad\xrightar... ...ad\xrightarrow{\text{簡約化}}\quad \begin{bmatrix}1 & -i \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$$

より，固有ベクトルはそれぞれ

$$\vec{x}= \begin{bmatrix}-i\,x_2 \\ x_2 \end{bmatrix} = c \begin{b... ...gin{bmatrix}i\,x_2 \\ x_2 \end{bmatrix} = c \begin{bmatrix}i \\ 1 \end{bmatrix}$$

となる．これより

$$D=U^{*}AU, \qquad D=\mathrm{diag}\,(i,-i)= \begin{bmatrix}i & 0 \... ...trix}, \qquad U=\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix}-i & i \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$$

と $\mathbb{C}$ 上で対角化される． また， $\mathbb{R}$ 上で実標準形では

$$D={Q}^{T}AQ, \qquad D= \begin{bmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \qquad Q=\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix}-1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

となる．

Kondo Koichi
平成18年1月17日