5.24 2 次対称行列の対角化

例 5.71 (対称行列の対角化の具体例) 対称行列

$\displaystyle A= \begin{bmatrix}1 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$

を直交行列で対角化する．の固有多項式は

$\displaystyle g_A(t)=\det(tE-A)= \begin{vmatrix}t-1 & -2 \\ -2 & t-1 \end{vmatrix} =(t-1)^2-4= t^2-2t-3= (t-3)(t+1)$

であるから，固有値は $g_A(\lambda)=0$ より $\lambda=3,-1$ となる．

$\displaystyle 3E-A= \begin{bmatrix}2 & -2 \\ -2 & 2 \end{bmatrix} \quad\xrighta... ...uad\xrightarrow{\text{簡約化}}\quad \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$

より， $\lambda=3$ と $\lambda=-1$ に属する固有ベクトルはそれぞれ

$\displaystyle \vec{x}= \begin{bmatrix}x_2 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix... ...ix}-c \\ c \end{bmatrix} = c \begin{bmatrix}-1 \\ 1 \end{bmatrix} = c \vec{p}_2$

となる． $\{\vec{p}_1,\vec{p}_2\}$ は1 次独立であるから， $P=\begin{bmatrix}\vec{p}_1 & \vec{p}_2 \end{bmatrix}$ は正則となる．しかしは直交行列ではないので，直交行列となるように固有ベクトルを選び直す． $\left({\vec{p}_1}\,,\,{\vec{p}_2}\right)=0$ であるから， $\vec{p}_1$ と $\vec{p}_2$ は直交する．よってこれらを正規化すればよい．

$\displaystyle \vec{q}_1=\frac{\vec{p}_1}{\Vert\vec{p}_1\Vert}= \frac{1}{\sqrt{2... ...}{\Vert\vec{p}_2\Vert}= \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix}-1 \\ 1 \end{bmatrix}$

とおくと， $\left({\vec{q}_i}\,,\,{\vec{q}_j}\right)=\delta_{ij}$ () が成り立ち正規直交系となる．以上より行列は

$\displaystyle D=Q^{-1}AQ={Q}^{T}AQ, \qquad D=\mathrm{diag}\,(3,-1)= \begin{bmat... ... & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$

と直交行列で対角化される．

注意 5.72 (対称行列の固有空間) 線形変換 $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ ; $\vec{y}=A\vec{x}$ の固有空間は

$\displaystyle W(3;f)= \left\langle \vec{p}_1\right\rangle = \left\langle \vec{q... ...1;f)= \left\langle \vec{p}_2\right\rangle = \left\langle \vec{q}_2\right\rangle$

である． $\dim(W(3;f))=1$ , $\dim(W(-1;f))=1$ , $W(3;f)\cap W(-1;f)=\{\vec{0}\}$ より

$\displaystyle ($ ☆ $\displaystyle )\qquad W(3;f)\oplus W(-1;f)=\mathbb{R}^2, \qquad \dim(W(3;f))+\dim(W(-1;f))=\dim(\mathbb{R}^2)$

を得る．固有空間 , は $\mathbb{R}^2$ の直和分解である．また，異なる固有値に属する固有ベクトルは直交するので，固有空間も直交し $W(3;f)\perp W(-1;f)$ を得る． $W(3;f)\perp W(-1;f)$ と(☆)より，は $\mathbb{R}^2$ におけるの直交補空間となる．また逆には $\mathbb{R}^2$ におけるの直交補空間となる．