5.23 対称行列の対角化

定義 5.61 (対称行列)   行列 $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ が ${A}^{T}=A$ をみたすとき，$A$ を 対称行列（symmetric matrix）という．

注意 5.62 (対称行列)   対称行列は

$$A= \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{12} & a... ...\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}$$

の形で表される．

例 5.63 (対称行列の具体例)   次に行列は対称行列である．

$$E= \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad \begin{bmat... ...trix}, \quad \begin{bmatrix}3 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}.$$

定義 5.64 (共役行列)   行列 $A=\begin{bmatrix}a_{ij}\end{bmatrix}\in\mathbb{C}^{m\times n}$ に対して $\overline{A}=\begin{bmatrix}\overline{a_{ij}}\end{bmatrix}$ と定義する．

定義 5.65 (共役転置行列)   行列 $A=\begin{bmatrix}a_{ij}\end{bmatrix}\in\mathbb{C}^{m\times n}$ に対して 共役転置行列を $A^{*}={(\overline{A})}^{T}=\overline{{A}^{T}}$ と定義する．

定理 5.66 (対称行列の固有値)   対称行列の固有値はすべて実数である．

（証明）     $A\vec{x}=\lambda\vec{x}$ において， $\mathbb{C}$ 上の内積を用いて

$$\left({\lambda\vec{x}}\,,\,{\vec{x}}\right) = \lambda\left({\vec{x}}\,,\,{\vec{x}}\right)= \lambda\Vert\vec{x}\Vert^2$$

$$\left({\lambda\vec{x}}\,,\,{\vec{x}}\right) = \overline{\left({\vec{x}}\,,\,{\lambda\vec{x}}\right)}= \overli... ...}\,,\,{\vec{x}}\right)}= \overline{\lambda\left({\vec{x}}\,,\,{\vec{x}}\right)}$$

$$= \overline{\lambda\Vert\vec{x}\Vert^2}= \overline{\lambda}\Vert\vec{x}\Vert^2$$

を得る．ここで，

$$\left({\vec{x}}\,,\,{A\vec{y}}\right)=\left({A^{*}\vec{x}}\,,\,{\vec{y}}\right)$$

が成り立つことを用いた． $\lambda=\overline{\lambda}$ となるので， $\lambda$ は実数である．

注意 5.67 (対称行列の固有値)   実対称行列の固有値は実数なので， 固有ベクトルも実数である．

注意 5.68 (対称行列と正規行列)   対称行列は正規行列である．

定理 5.69 (対称行列の固有値)   対称行列の異なる固有値に属する固有ベクトルは直交する．

（証明）     対称行列は正規行列であるから固有ベクトルは直交する． または，次のように示す． ${A}^{T}=A$, $A\vec{u}=\lambda\vec{u}$, $A\vec{v}=\mu\vec{v}$, $\lambda\neq\mu$ とする． このとき，

$$\lambda\left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)= \left({\lambda\vec{u... ...left({\vec{u}}\,,\,{\mu\vec{v}}\right)= \mu\left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)$$

となる．

$$(\lambda-\mu)\left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)=0$$

であるから， $\lambda\neq\mu$ より $\left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)=0$ を得る．

定理 5.70 (対称行列の対角化)   対称行列 $A$ は 対角行列 $D$ と直交行列 $Q$ を用いて

$$D=Q^{-1}AQ={Q}^{T}AQ,$$

$$D=\mathrm{diag}\,(\lambda_1,\cdots,\lambda_n),$$

$$Q= \begin{bmatrix}\vec{q}_1 & \cdots & \vec{q}_n \end{bmatrix}, \quad \left({\vec{q}_i}\,,\,{\vec{q}_j}\right)=\delta_{ij}$$

と対角化される．

Kondo Koichi
平成18年1月17日