4.3 多項式の文字の置換

定義 4.30 (多項式の変数の置換)   $n$ 変数 $x_1$, $x_2$, $\cdots$, $x_n$ の 多項式 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ と 置換 $\sigma\in S_n$ に対して

$$\sigma\,f(x_1,x_2,\cdots,x_n) = f(x_{\sigma_{1}},x_{\sigma_{2}},\cdots,x_{\sigma_{n}})$$ (666)

と定義する．

例 4.31 (多項式の変数の置換の具体例)  

$$f(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}x_{2}+2x_{2}+3x_{3}$$ (667)

とする．

$$\sigma= \begin{pmatrix}1 & 2 \end{pmatrix}$$ (668)

のとき

$$\sigma\,f(x_{1},x_{2},x_{3})=f(x_{2},x_{1},x_{3})= x_{2}x_{1}+2x_{1}+3x_{3}$$ (669)

となる．

$$\sigma= \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$$ (670)

のとき

$$\sigma\,f(x_{1},x_{2},x_{3})=f(x_{2},x_{3},x_{1})= x_{2}x_{3}+2x_{3}+3x_{1}$$ (671)

となる．

定理 4.32 (置換の積)   $\sigma,\tau\in S_{n}$ に対して

$$(\sigma \tau)f(x_1,\cdots,x_n) = (\sigma(\tau f))(x_1,\cdots,x_n)$$ (672)

が成立する．

（証明）

$$= (\sigma\tau)f(x_{1},\cdots,x_{n})= f(x_{(\sigma\tau)(1)},\cdots,x_{(\sigma\tau)(n)})\,,$$ （左辺） (673)

$$= (\sigma(\tau\,f))(x_{1},\cdots,x_{n})= \sigma\,f(x_{\tau(1)},\cdots,x_{\tau(n)})$$ （右辺） (674)

$$= f(x_{\sigma(\tau(1))},\cdots,x_{\sigma(\tau(n))})= f(x_{(\sigma\tau)(1)},\cdots,x_{(\sigma\tau)(n)})\,.$$ (675)

定義 4.33 (差積)   $n$ 変数 $x_1,\cdots,x_n$ の多項式

$$\Delta(x_1,x_2,\cdots,x_n)= \prod_{i\leq i<j\leq n}(x_{i}-x_{j})$$ (676)

を差積と呼ぶ．

例 4.34 (差積の具体例)  

$$\Delta(x_{1},x_{2}) = x_{1}-x_{2}\,,$$ (677)

$$\Delta(x_{1},x_{2},x_{3}) = (x_{1}-x_{2})(x_{1}-x_{3})(x_{2}-x_{3})\,,$$ (678)

$$\Delta(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) = (x_{1}-x_{2})(x_{1}-x_{3})(x_{1}-x_{4}) (x_{2}-x_{3})(x_{2}-x_{4}) (x_{3}-x_{4})\,,$$ (679)

$$\Delta(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}) = (x_{1}-x_{2})(x_{1}-x_{3})(x_{1}-x_{4})(x_{1}-x_{5})$$ (680)

$$\qquad\qquad \times(x_{2}-x_{3})(x_{2}-x_{4})(x_{2}-x_{5})$$ (681)

$$\qquad\qquad\qquad\qquad \times(x_{3}-x_{4})(x_{3}-x_{5})$$ (682)

$$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \times(x_{4}-x_{5})\,.$$ (683)

定理 4.35 (互換による差積の置換)   互換 $\sigma=\begin{pmatrix}i & j \end{pmatrix}$ に対して

$$\sigma\,\Delta(x_1,\cdots,x_n)= -\Delta(x_1,\cdots,x_n)$$ (684)

が成立する．

定理 4.36 (差積の変数の置換)   置換 $\sigma\in S_{n}$ に対して

$$\sigma\,\Delta(x_1,\cdots,x_n)= \mathrm{sgn}\,(\sigma)\,\Delta(x_1,\cdots,x_n)$$ (685)

が成立する．

定理 4.37 (置換の符号の一意性)   置換の符合は互換の積の表わし方によらず一意に定まる．

（証明） 置換 $\sigma$ が互換の積を用いて二通りで表せたとする． すなわち，

$$\sigma =\sigma_{m}\sigma_{m-1}\cdots\sigma_{2}\sigma_{1}\,,$$ (686)

$$\sigma =\tau_{l}\tau_{l-1}\cdots\tau_{2}\tau_{1}\,$$ (687)

とする． このときそれぞれ

$$\sigma\,\Delta(x_{1},\cdots,x_{n})= (\sigma_{m}\cdots\sigma_{1})\Delta(x_{1},\cdots,x_{n})= (-1)^{m}\Delta\,,$$ (688)

$$\sigma\,\Delta(x_{1},\cdots,x_{n})= (\tau_{l}\cdots\tau_{1})\Delta(x_{1},\cdots,x_{n})= (-1)^{l}\Delta\,$$ (689)

となる．よって

$$(-1)^{m}\Delta(x_{1},\cdots,x_{n})= (-1)^{l}\Delta(x_{1},\cdots,x_{n})$$ (690)

である．恒等的には $\Delta\neq0$ であるから

$$(-1)^{m}=(-1)^{l}$$ (691)

が成立する． 以上より符合 $\mathrm{sgn}\,(\sigma)$ は互換の積の表し方によらず $\mathrm{sgn}\,(\sigma)=(-1)^{m}=(-1)^{l}$ と一意に定まる．

Kondo Koichi
平成17年9月15日