3.5 行列の簡約化

定義 3.20 (階段行列)   行列が

$$\left[\begin{array}{cccccccc} \!1\! & ** & \!0\! & ** & \!0\! & *... ... \\ \vdots& & & & & & &\vdots\\ 0 &\cdots& & & & &\cdots & 0 \end{array}\right]$$ (428)

という形をしているとき， この行列を簡約な行列または 階段行列と呼ぶ． また， 各行の一番左の 0 ではない成分を主成分と呼ぶ．

例 3.21 (簡約な行列の具体例)   次の行列は簡約な行列である：

$$\begin{bmatrix}0 & 1 & 3 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & ... ...& 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\,,\quad$$ (429)

$$\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 1 & 6 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0... ... & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\,.$$ (430)

定義 3.22 (簡約化)   行列 $A$ に基本変形を繰り返し， 簡約な行列 $B$ を得ることを簡約化と呼ぶ．

例 3.23 (簡約化の計算例)   簡約化の具体的な計算例を示す：
(1)

$$A = \begin{bmatrix}0 & 2 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$ (431)

$$1/2$$ (432)

$$\rightarrow \begin{bmatrix}0 & 1 & 1/2 & 0 & 1/2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}=B$$ (433)

(2)

$$A = \begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 1/3 & 1/2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1/3 & 2/3 \end{bmatrix}$$ (434)

   （第二行目と第三行目を入れ替える．） (435)

$$\rightarrow \begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 1/3 & 1/2 \\ 0 & 0 & 1 & 1/3 & 2/3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}=B$$ (436)

(3)

$$A = \begin{bmatrix}1 & 1 & 3 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$ (437)

$$-3$$ (438)

$$\rightarrow \begin{bmatrix}1 & 1 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$ (439)

$$-2$$ (440)

$$\rightarrow \begin{bmatrix}1 & 1 & 0 & -5 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}=B$$ (441)

(4)

$$A = \begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -2 \\ 1 & 3 & 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$$ (442)

   （第一行目を第三行目を入れ替える．） (443)

$$\rightarrow \begin{bmatrix}1 & 3 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}=B$$ (444)

定理 3.24 (簡約化の一意性)   任意の行列は基本変形により一意に簡約化できる．

Kondo Koichi
平成17年9月15日