3.4 連立方程式の解の集合

注意 3.15 (連立方程式の解の集合)   連立方程式

$$\left\{\begin{array}{ll} a_{11}x + a_{12}y & = b_1 \\ a_{21}x + a_{22}y & = b_2 \end{array}\right.$$ (417)

を考える． 第 1 式，第 2 式をみたす点 $(x,y)$ の集合は それぞれ $\mathbb{R}^2$ 内の直線を表す． 連立方程式の解はこの 2 つの式を同時にみたす点の集合であるらか， 2 つの直線の交点が連立方程式の解となる． 交点をもつ条件は次の 3 つに分けられる．

(i)

1 点で交わる場合．このとき解は一意な解と呼ぶ．

(ii)

2 つの直線が重なり 1 つの直線となる場合． このとき交点は直線上のすべての点である． 解は一意には表すことができず， 任意定数を用いて表す． この解を任意定数を含む解と呼ぶことにする．

(iii)

2 つの直線が平行であり，交わらない場合． このとき解なしとなる．

注意 3.16 (連立方程式の解の集合)   上の 3 つ場合となるための $a_{11},a_{12},a_{21},a_{22},b_1,b_2$ に関する条件を求めよ．

注意 3.17 (連立方程式の解の集合)   連立 1 次方程式

$$x+y=1$$ (418)

を考える． この方程式の解は直線上のすべての点であるから， 解が一意には定まらない． 解を具体的に書き下す． 方程式を変形すると

$$y=1-x$$ (419)

である． この式の右辺の $x$ は任意の値をとることが可能である． 左辺の $y$ は与えられた $x$ の値に応じて値が一つ定まる． このとき解は

$$\left\{ \begin{array}{l} x=c\\ y=1-c \end{array} \right.$$ (420)

と表される． ただし $c$ は任意の定数とする． また解は

$$\begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}c \\ 1-c \end... ... \\ 1 \end{bmatrix} +c \begin{bmatrix}1 \\ -1 \end{bmatrix}= \vec{q}+c\,\vec{p}$$ (421)

と書ける． よって解全体がなす集合は点 $\vec{q}$ を通り 方向ベクトル $\vec{p}$ の直線となる． また，拡大係数行列は

$$[A\,\vert\,\vec{b}]= \left[ \begin{array}{cc\vert c} 1 & 1 & 1 \end{array}\right]$$ (422)

であり，掃き出し法の形には当てはまらない．

注意 3.18 (連立方程式の解の集合)   連立方程式

$$\left\{\begin{array}{ll} a_{11}x + a_{12}y +a_{13}z & = b_1 \\ a_... ...{22}y +a_{23}z & = b_2 \\ a_{31}x + a_{32}y +a_{33}z & = b_3 \end{array}\right.$$ (423)

を考える． 第 1 式，第 2 式，第 3 式をみたす点 $(x,y,z)$ の集合は それぞれ $\mathbb{R}^3$ 内の平面を表す． 平面の交点をもつ条件は次の 4 つに分けられる． (i) 1 点で交わる場合．(ii) 直線となる場合．(iii) 平面となる場合． (iv) 交点がない場合．

注意 3.19 (連立方程式の解の集合)   連立 1 次方程式

$$\left\{\begin{array}{ccccc} x & & + & 2z & = 1 \\ & y & + & z & = 2 \end{array}\right.$$ (424)

を考える． 方程式の解を書き下す． 方程式を書き直すと

$$\left\{ \begin{array}{ccc} x & = 1 & -2z \\ y & = 2 & -z \end{array}\right.$$ (425)

となる． 左辺には $x$, $y$ があり， 右辺は $z$ のみである． 右辺の $z$ にある値が 1 つ与えらると， その $z$ に応じて左辺の $x$, $y$ の値がそれぞれ定まる． よって $c$ を任意の値として $z=c$ とおくと， 解は

$$\begin{bmatrix}x \\ y \\ z \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}1-2c \\ ... ...\ 1 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix}1 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix}= c\,\vec{p}+\vec{q}$$ (426)

と表される． 解全体の集合は 3 次元空間 $\mathbb{R}^3$ 内の 点 $\vec{q}$ を通り方向ベクトル $\vec{p}$ の直線である． また，拡大係数行列は

$$[A\,\vert\,\vec{b}]= \left[ \begin{array}{ccc\vert c} 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \end{array}\right]$$ (427)

であり，掃き出し法の形には当てはまらない．

Kondo Koichi
平成17年9月15日