1.25 平面の方程式と法線ベクトル

定理 1.118 (平面の方程式)   $\mathbb{R}^n$ 空間内の平面上の点 $X$ の位置ベクトルは

$$\vec{n}\cdot(\vec{x}-\vec{q})=0\,,\qquad \vec{x},\vec{n},\vec{q}\in\mathbb{R}^{n}$$ (188)

と表される． $\vec{n}$ は方向ベクトル $\vec{u}$, $\vec{v}$ と 直交するベクトルである． $\vec{n}$ を法線ベクトル（normal vector）という．

（証明） （ $\Rightarrow$） $\vec{n}\cdot\vec{u}=0$, $\vec{n}\cdot\vec{v}=0$ である． このとき

$$\vec{n}\cdot(\vec{x}-\vec{q})= \vec{n}\cdot(t\vec{u}+s\vec{v})= t(\vec{n}\cdot\vec{u})+ s(\vec{n}\cdot\vec{v})=0$$ (189)

が成り立つ．

注意 1.119 ( $\mathbb{R}^3$ の平面の方程式)   $\mathbb{R}^3$ 内の平面の方程式は次のように表される． まず，基本は

$$ax+by+cz+d=0$$ (190)

である． このとき，法線ベクトルは $\vec{n}={[a\,\,\,b\,\,c]}^{T}$ である． また，この式を変形して

$$a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$$ (191)

と表す．このとき， 法線ベクトルは $\vec{n}={[a\,\,\,b\,\,c]}^{T}$ であり， 平面は点 $(x_0,y_0,z_0)$ を通る． さらに変形して，

$$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$$ (192)

とする．このとき平面と $x$ 軸，$y$ 軸，$z$ 軸との 交点はそれぞれ $x=a$, $y=b$, $z=c$ となる．

例 1.120 ( $\mathbb{R}^3$ の平面の方程式の具体例)   $\mathbb{R}^3$ 内の平面の方程式

$$x-2y+3z+4=0$$ (193)

を考える． 法線ベクトルは $\vec{n}={[1\,\,\,-2\,\,3]}^{T}$ である． また，方程式を変形して

$$\frac{x}{-4}+ \frac{y}{2}+ \frac{z}{-\frac{4}{3}}=1$$ (194)

を得る． 平面は点 $(-4,0,0)$, $(0,2,0)$, $(0,0,-4/3)$ を通る．

Kondo Koichi
平成17年9月15日