1.23 $\mathbb{R}^2$ における点と直線との距離

定理 1.112 ( $\mathbb{R}^2$ 内の点と直線の距離)   $\mathbb{R}^2$ 空間内の点 $A(x_{0},y_{0})$ と 直線 $ax+by+c=0$ との距離は

$$\frac{\vert ax_{0}+by_{0}+c\vert}{\sqrt{a^2+b^2}}$$ (175)

である．

問 1.113 ( $\mathbb{R}^2$ 内の点と直線の距離)   これを示せ．

（証明） $\mathbb{R}^2$ 空間を $\mathbb{R}^3$ 空間内の部分空間として考える． このとき，点 $A(\vec{a})$ と直線 $\vec{x}=\vec{q}+t\vec{p}$ を考える．

$$\vec{a}= \begin{bmatrix}x_{0} \\ y_{0} \\ 0 \end{bmatrix}\,,\quad... ...b \\ 0 \end{bmatrix}\,,\quad \vec{p}= \begin{bmatrix}b \\ -a \\ 0 \end{bmatrix}$$ (176)

とおくと

$$\vec{p}\times(\vec{a}-\vec{q})= \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ \begin{vmatrix}b & x_{0} \\ -a & y_{0}+c/b \end{vmatrix} \end{bmatrix}\,,\quad$$ (177)

$$\Vert\vec{p}\times(\vec{a}-\vec{q})\Vert^2= \begin{vmatrix}b & x_{0} \\ -a & y_{0}+c/b \end{vmatrix}^2= (ax_{0}+by_{0}+c)^2\,,\quad$$ (178)

$$\Vert\vec{p}\Vert^2=a^2+b^2$$ (179)

である．よって距離は

$$\frac{\Vert\vec{p}\times(\vec{a}-\vec{q})\Vert}{\Vert\vec{p}\Vert... ...x_{0}+by_{0}+c)^2}{a^2+b^2}}= \frac{\vert ax_{0}+by_{0}+c\vert}{\sqrt{a^2+b^2}}$$ (180)

である．

問 1.114 ( $\mathbb{R}^2$ 内の点と直線の距離)   点 $A(2,1)$ と直線 $x-3y-2=0$ との距離は

$$\frac{\vert ax_{0}+by_{0}+c\vert}{\sqrt{a^2+b^2}}= \frac{\left\vert 1\cdot2-3\cdot1-2\right\vert}{\sqrt{1^2+(-3)^2}}= \frac{3}{\sqrt{10}}$$ (181)

である．

Kondo Koichi
平成17年9月15日