1.11 ベクトルの成す角

定義 1.58 (ベクトルの成す角)   $\mathbb{R}^{n}\ni\vec{a},\vec{b}$ に対して

$$\cos\theta= \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\Vert\vec{a}\Vert\Vert\vec{b}\Vert}$$ (85)

により得られる $\theta$ を ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ との成す角（angular）という． $\cos\theta$ を方向余弦（direction cosine）という．

注意 1.59 (内積とノルムの比)   シュバルツの不等式より

$$-1\leq\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\Vert\vec{a}\Vert\Vert\vec{b}\Vert}\leq1$$ (86)

となることに注意する．

例 1.60 (成す角の具体例)   2 つのベクトル

$$\vec{a}= \begin{bmatrix}1 \\ 1 \end{bmatrix}\,,\quad \vec{b}= \begin{bmatrix}2 \\ -1 \end{bmatrix}\quad \in\mathbb{R}^{2}$$ (87)

を考える．このとき方向余弦は

$$\cos\theta= \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\Vert\vec{a}\Vert\Vert\vec{b}\Vert}= \frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{5}}= \frac{1}{\sqrt{10}}$$ (88)

となるので， 成す角は

$$\theta= \arccos\frac{1}{\sqrt{10}}\simeq 0.4\pi\simeq 72^{\circ}$$ (89)

である．

例 1.61 (成す角の具体例)   2 つのベクトル

$$\vec{a}= \begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}\,,\quad \vec{b}= \begin{bmatrix}2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}\quad \in\mathbb{R}^{3}$$ (90)

を考える．このとき方向余弦は

$$\cos\theta= \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\Vert\vec{a}\Vert\Vert\vec{b}\Vert}= \frac{2}{\sqrt{3}\sqrt{6}}= \frac{\sqrt{2}}{3}$$ (91)

となるので， 成す角は

$$\theta= \arccos\frac{\sqrt{2}}{3}\simeq 0.34\pi\simeq 62^{\circ}$$ (92)

である．

Kondo Koichi
平成17年9月15日