5.13 項別微分

例 5.26 (項別微分の具体例)  

$$e^{x} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}x^{n}= 1+x+\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{3!}x^3+ \frac{1}{4!}x^4+\cdots$$ (692)

$$\frac{d}{dx}e^{x} = \frac{d}{dx} \left(1+x+\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{3!}x^3+ \frac{1}{4!}x^4+\cdots+ \frac{1}{n!}x^{n}+ \frac{1}{(n+1)!}x^{n+1}+\cdots \right)$$ (693)

$$= \frac{d}{dx}1+ \frac{d}{dx}x+ \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}x^{2... ...x}\left(\frac{1}{3!}x^3\right)+ \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4!}x^4\right)+\cdots$$ (694)

$$\qquad\qquad\qquad\cdots+ \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{n!}x^{n}\right)+ \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{(n+1)!}x^{n+1}\right)+\cdots$$ (695)

$$= 0+1+\frac{2}{2}x^{2}+ \frac{3}{3!}x^2+\frac{4}{4!}x^{3}+\cdots+ \frac{n}{n!}x^{n-1}+\frac{n+1}{(n+1)!}x^{n}+\cdots$$ (696)

$$= 1+x+ \frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+\cdots+ \frac{1}{(n-1)!}x^{n-1}+\frac{1}{n!}x^{n}+\cdots$$ (697)

$$= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}x^{n}$$ (698)

$$=e^{x}$$ (699)

例 5.27 (項別微分の具体例)  

$$\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots+ (-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+\cdots$$ (700)

$$\frac{d}{dx}\sin x = \frac{d}{dx}\left( x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots+ (-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+\cdots\right)$$ (701)

$$= 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots+ (-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}+\cdots=\cos x$$ (702)

例 5.28 (項別微分の具体例)  

$$\log(1+x) = x-\frac{x^2}{2}+\cdots+(-1)^{n}\frac{x^{n}}{n}+\cdots$$ (703)

$$\frac{d}{dx} \log(1+x) = 1-x+\cdots+(-1)^{n}x^{n-1}+\cdots=\frac{1}{1+x}$$ (704)

問 5.29   これを示せ．

例 5.30 (テーラー級数の微分)  

$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}$$ (705)

$$f'(x)= \frac{d}{dx}f(x) = \frac{d}{dx} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}$$ (706)

$$= \frac{d}{dx} \left( f(a)+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n} \right)$$ (707)

$$=0+ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{d}{dx}\left( \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}\right)$$ (708)

$$= \sum_{n=1}^{\infty} f^{(n)}(a) \frac{n}{n!} (x-a)^{n-1}$$ (709)

$$= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{(n-1)!} (x-a)^{n-1}$$ (710)

$$\quad(m=n-1;n=1,2,3,\cdots)$$ (711)

$$= \sum_{m=0}^{\infty} \frac{f^{(m+1)}(a)}{m!} (x-a)^{m}$$ (712)

$$\quad(m\to n)$$ (713)

$$= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(f')^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n}$$ (714)

$$=f'(x)$$ (715)

$f(x)$ に関するテーラー級数を微分したものは， $f'(x)$ に関するテーラー級数となる． テーラー級数は微分演算に対して不変である．

Kondo Koichi
平成17年8月31日