4.2 数列の極限

数列 $\{a_{n}\}$ が

$$1,\,\frac{1}{2},\,\frac{1}{3},\,\frac{1}{4},\,\frac{1}{5},\,\cdots,\, \frac{1}{n},\,\cdots$$ (385)

と与えられたとする． この数列 $\{a_{n}\}$ は $n$ が 限りなく大きくなるにつれて 0 にどんどんと近づいて行く． このことを数学的には， 数列 $\{a_{n}\}$ は 極限（limit）が存在し 0 に収束する（convergent）， という． 一般的には次のように表現する．

定義 4.6 (数列の極限)  

$$n$$ (386)

$$a_{n} a$$ (387)

$$\quad\Leftrightarrow \lim_{n\to\infty} a_{n} = a$$ (388)

$$\quad\Leftrightarrow a_{n}\to a \quad (n\to\infty)$$ (389)

$$\quad\Leftrightarrow a_{n} a$$ (390)

$$\quad\Leftrightarrow a_{n} a$$ (391)

収束しない場合を発散する（divergent）という．

注意 4.7 (数列の極限に関する注意)   数列（）は $a_{n}=1/n>0$ であるので， $a_{n}$ がいかに 0 に近づいたとしても， 決して 0 になることはない． $a_{n}\neq 0$ である． $${\lim_{n\to\infty}a_{n}}=0$$ の意味はあくまでも， 数列 $a_{n}$ は 0 に近づいて行く，という意味である．

例 4.8 (負巾で表される数列の極限)   次の一般項をもつ数列をそれぞれ考える：

$$a_{n}=\frac{1}{n}\,, \qquad a_{n}=\frac{1}{n^2}\,, \qquad a_{n}=\frac{1}{n^3}\,, \qquad \cdots\,, \qquad a_{n}=\frac{1}{n^p}\,, \qquad \cdots$$ (392)

すべての数列に対して $${\lim_{n\to\infty}a_{n}=0}$$ である． これは標語的に書くと $a_{\infty}=\frac{1}{\infty}=0$ である． このとき数列は有限確定である．

Kondo Koichi
平成17年8月31日