6.18 コーシーの主値積分

定義 6.71 (コーシーの主値積分)   関数 $f(x)$ が $x=c$ $(a<c<b)$ で不連続で， 有限区間 $[a,b]$ で連続なとき，

$$\int_{a}^{b}f(x)\,dx= \lim_{\epsilon\to+0} \left(\int_{a}^{c-\epsilon}f(x)\,dx+ \int_{c+\epsilon}^{b}f(x)\,dx\right)$$ (1136)

を$c$ におけるコーシーの主値積分（Cauchy's principal values of integral）という． また関数 $f(x)$ が無限区間 $(-\infty,\infty)$ で連続なとき，

$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx= \lim_{a\to\infty} \left(\int_{-a}^{a}f(x)\,dx\right)$$ (1137)

を$\infty$ におけるコーシーの主値積分という． 主値積分はまた

$$\mathrm{P}\int_{a}^{b}f(x)\,dx$$ (1138)

とも表記する．

例 6.72 (広義積分での計算例)  

$$\int_{-1}^{1}\frac{dx}{x}= \int_{-1}^{0}\frac{dx}{x}+ \int_{0}^{1... ...}^{-\varepsilon_{1}}\frac{dx}{x}+ \int_{\varepsilon_{2}}^{1}\frac{dx}{x}\right)$$ (1139)

$$= \lim_{\varepsilon_{1}\to+0} \Big[\log\vert x\vert\Big]_{-1}^{-\... ...}+ \lim_{\varepsilon_{2}\to+0} \Big[\log\vert x\vert\Big]_{\varepsilon_{2}}^{1}$$ (1140)

$$= \lim_{\varepsilon_{1}\to+0} \left(\log\varepsilon_{1}-\log 1\right)+ \lim_{\varepsilon_{2}\to+0} \left(\log1-\log\varepsilon_{2}\right)$$ (1141)

$$= \lim_{\varepsilon_{1}\to+0}\log\varepsilon_{1}- \lim_{\varepsilon_{2}\to+0}\log\varepsilon_{2}= -\infty+\infty\,. \cdots$$ (1142)

例 6.73 (コーシーの主値積分での計算例)  

$$\int_{-1}^{1}\frac{dx}{x}= \int_{-1}^{0}\frac{dx}{x}+ \int_{0}^{1}\frac{dx}{x}= \lim_{\varepsilon\to+0} \left(\int_{-1}^{-\varepsilon}\frac{dx}{x}+ \int_{\varepsilon}^{1}\frac{dx}{x}\right)$$ (1143)

$$= \lim_{\varepsilon\to+0} \Big[\log\vert x\vert\Big]_{-1}^{-\varepsilon}+ \Big[\log\vert x\vert\Big]_{\varepsilon}^{1}$$ (1144)

$$= \lim_{\varepsilon\to+0} \left( \log\varepsilon-\log1+\log1-\log\varepsilon\right)$$ (1145)

$$= \lim_{\varepsilon\to+0} \left(\log\varepsilon-\log\varepsilon\right)=0\,. \cdots$$ (1146)

Kondo Koichi
平成17年8月31日